Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(-\dfrac{1}{4}x^2=-\dfrac{1}{2}x-3\)

=>\(\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{1}{2}x-3=0\)

=>\(x^2-2x-6=0\)

Theo Vi-et, ta có: \(a+b=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\)

Sửa đề: (d2): y=x+3

Tọa độ giao điểm của (d1),(d2) là:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+1=x+3\\y=x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=2+3=5\end{matrix}\right.\)

Thay x=2 và y=5 vào (d3), ta được:

\(2\left(m+1\right)-5=5\)

=>2(m+1)=10

=>m+1=5

=>m=4

=>Hệ số góc của (d3) là m+1=4+1=5

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m^2-3\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4\left(m^2-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+12=-8m+16\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>-8m+16>=0

=>-8m>=-16

=>m<=2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m-1\right)x_2< =3m^2+8\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)< =3m^2+8\)

=>\(\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2< =3m^2+8\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2< =3m^2+8\)

=>\(\left(2m-2\right)^2-\left(m^2-3\right)-3m^2-8< =0\)

=>\(4m^2-8m+4-m^2+3-3m^2-8< =0\)

=>-8m-1<=0

=>8m+1>=0

=>\(m>=-\dfrac{1}{8}\)

=>\(-\dfrac{1}{8}< =m< =2\)

x² - 2(m-1)x + m² -3 = 0 (1)

(1) có 2 nghiệm khi Δ = [ -2(m-1)]² - 4 . 1. (m² -3) ≥ 0

<=> 4m² - 8m + 4 - 4m² +12 ≥ 0

<=> -8m + 16 ≥ 0

<=> m ≤ 2

Theo định lý Vi-ét:

S= x₁ + x₂ = -b/2.a = m -1

P= x₁.x₂ = c/a = m² -3

Ta có : x1 là nghiệm của (1) nên

x₁² - 2(m-1) x₁ + m² -3 = 0

<=> x₁² = -2(m-1) x₁ - m² + 3 

Từ đó: 

x₁² - 2(m-1) x2 ≤ 3m² + 8

<=> -2(m-1) x₁ - m² + 3 - 2(m-1) x₂ ≤ 3m² + 8

<=> - 2(m-1)(x₁ + x₂)  - 4m² -5 ≤ 0

<=> -2(m² - 2m +1)  - 4m² -5 ≤ 0

<=> -6m^₂ + 4m -7 ≤ 0  (đúng với mọi m ϵ R)

Vậy m ≤ 2 thì thỏa

a: Xét tứ giác AHKC có \(\widehat{AHC}=\widehat{AKC}=90^0\)

nên AHKC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CAM}=\widehat{CBM}\)

mà \(\widehat{CAM}=\widehat{CHK}\)(ACKH nội tiếp)

nên \(\widehat{CHK}=\widehat{CBM}\)

c: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xét ΔAHN vuông tại H và ΔAMB vuông tại M có

\(\widehat{HAN}\) chung

Do đó: ΔANH~ΔABM

=>\(\dfrac{AN}{AB}=\dfrac{AH}{AM}\)

=>\(AN\cdot AM=AH\cdot AB\)

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(AH\cdot AB=AC^2\)

=>\(AM\cdot AN=AC^2\)

\(P=AM\cdot AN+BC^2=AC^2+BC^2=AB^2=4R^2\)

a: Xét tứ giác MHNC có \(\widehat{HMC}+\widehat{HNC}=90^0+90^0=180^0\)

nên MHNC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{DBC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

\(\widehat{DAC}\) là góc nội tiếp chắn cung DC

Do đó: \(\widehat{DBC}=\widehat{DAC}\)

mà \(\widehat{DAC}=\widehat{NBC}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

nên \(\widehat{DBC}=\widehat{NBC}\)