a, Xét tam giác BEC và tam giác AEK có:

                            EB=EK (gt)

                            góc BEC=góc AEK (đối đỉnh)

                            EA=EC (gt)

Do đó: tam giác BEC=tam giác AEK (c.g.c)

Suy ra: BC=AK (2 cạnh tương ứng)

b, Xét tam giác ABC cân tại A có AM là đường phân giác tại đỉnh A nên AM đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

Vậy AM vuông góc với BC (1) và M là trung điểm của BC

Tam giác BEC=Tam giác AEK (cmt) suy ra:góc BCE=góc AKE

Do đó: AK song song với BC. (2) (vì có 2 góc so le trong bằng nhau)

Từ (1) và (2) thì AM vuông góc với AK

c, M là trung điểm của BC(gt) nên MB=MC= 1/2 BC= 1/2 .12 =6(cm)

AM vuông góc với BC(cmt) suy ra: tam giác AMB vuông tại M

Do đó:    AM^2 +BM^2 =AB^2

              AM^2 + 6^2 =10^2 (vì BM= 6cm,AB=10cm)

              AM^2 + 36=100

              AM^2 =64

              AM=8 (cm)

Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến AM và BE cắt nhau tại O nên O là trọng tâm của tam giác ABC

Vậy OM =1/3 AM =1/3 .8 =8/3 (cm)

MIB cân tại M vì góc MIB= góc MBI

Nên MB=MI=12cm

=> MI//AC, ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{IM}{BC}=\frac{12}{30}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \frac{AB-12}{AB}=\frac{3}{5}\Rightarrow AB=30\left(cm\right)$

BD là phân giác ngoài của góc ABC, ta có:
$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}$

Do đó BC // DN, ta lại có:

$\frac{AN}{BN}=\frac{AD}{CN}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{AB}{BN}=\frac{1}{2};\frac{30}{BN}=\frac{1}{2}$

Do đó BN=60(cm). Từ đó ta có: MN=72(cm)

b) Ta có EF//AB nên:

$\frac{IA}{IC}=\frac{AB}{EC}\left(1\right)$và$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CF}\left(2\right)$

Do đó BI và BD là phân giác trong và ngoài của góc B trong tam giác ABC, ta có: $\frac{IA}{IC}=\frac{DA}{DC}\left(3\right)$

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\frac{AB}{EC}=\frac{AB}{CF}$do đó EC=EF

Từ $\frac{IA}{IC}=\frac{BI}{IE}\Rightarrow AI.IE=BI.IC$

Bài 5: 

a) \(x^2+4x-5=x^2-x+5x-5=x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)=\left(x+5\right)\left(x-1\right)\)

b) \(2x^2-14x+20=2x^2-4x-10x+20=2x\left(x-2\right)-10x\left(x-2\right)=2\left(x-5\right)\left(x-2\right)\)

c) \(3x^2+8x+5=3x^2+3x+5x+5=3x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)=\left(3x+5\right)\left(x+1\right)\)

d) \(6x^2-xy-7y^2=6x^2+6xy-7xy-7y^2=6x\left(x+y\right)-7y\left(x+y\right)\)

\(=\left(6x-7y\right)\left(x+y\right)\)

Bài 4: 

a) \(x^3-6x^2+12x-8=x^3-2.3.x^2+3.2^2.x-2^3=\left(x-2\right)^3\)

b) \(\left(x-1\right)^3+\left(3-x\right)^3=\left(x-1+3-x\right)\left[\left(x-1\right)^2-\left(x-1\right)\left(3-x\right)+\left(3-x\right)^2\right]\)

\(=2\left(x^2-2x+1+x^2-4x+3+x^2-6x+9\right)\)

\(=2\left(3x^2-12x+13\right)\)

c) \(x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)^3-3z\left(x+y\right)\left(x+y+z\right)-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y+z\right)^2-3xy-3yz-3zx\right]\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

Ta có 2x³ - 3x² + x + a

= 2x³ + 4x² - 7x² - 14x + 15x + 30 + (a - 30) 

= 2x²(x + 2) - 7x(x + 2) + 15(x + 2) + (a - 30) 

= (x + 2)(2x² - 7x + 15) + a - 30

Để (2x³ - 3x² + x + a) \(⋮\)(x + 2)

=> a - 30 = 0

<=> a = 30

Vậy a = 30 

a, 5 .(m-n)

b, -2.(x+y)

c,-7.(x-y)

d, \(5x^2.\left(2x-3\right)\)

e,\(x.\left(x-y\right)\)

f,\(3x^2.\left(3x^2-2\right)\)

g,\(\left(x-3\right).\left(x-5\right)\)

l,\(5\left(x-2\right)\)

(x+1)³-27

= (x+1)³-3³

=(x+1-3)((x+1)²+x+1.3+3²)

=(x-2)(x²+x+13)

              -Học tốt-

Xét △BDE, có :

N là tđ của DE (gt)

I là tđ của BE (gt)

⇒ NI là đường trung bình của △BDE

⇒NI=BD/2 (tính chất)

Xét △DEC, có :

N là tđ của DE (gt)

K là tđ của CD (gt)

⇒ NK là đường trung bình của △DEC

⇒NK=CE/2 (tính chất)

Xét △BEC, có :

M là tđ của BC (gt)

I là tđ của BE (gt)

⇒ MI là đường trung bình của △BEC

⇒MI=CE/2 (tính chất)

Xét △BDC, có :

M là tđ của BC (gt)

K là tđ của CD (gt)

⇒ MK là đường trung bình của △BDC

⇒MK=BD/2 (tính chất)

Có:

NI=BD/2 (cmt)

NK=CE/2 (cmt)

MI=CE/2 (cmt)

MK=BD/2 (cmt)

BD=CE(gt)

⇒NI=NK=MI=MK

Xét tứ giác MINK, có :

NI=NK=MI=MK (cmt)

⇒Tứ giác MINK là hình thoi (DHNB)

HT

Xét tam giác BDE có :

I là trung điểm của DE ( gt )

M là trung điểm của BE ( gt )

=> IM là đường TB

=> IM = 1/2 BD ( tính chất đường TB )

CMTT : ta có NK = 1/2 BD

IN = 1/2 CE

NK = 1/2 CE

Mà BD = CE ( gt )

=> IM = MK = IN = NK

=> Tứ giác IMKN là hình thoi ( tứ giác có 4 cạnh bằng nhau )

=> IK ⊥ MN ( tính chất hình thoi )