$S_{ABC}=S_{ADB}+S_{ADC}$

<=>$bc.sinA=AD\cdot c\cdot sin\frac{A}{2}+AD\cdot b\cdot sin\frac{A}{2}$

<=>$bc.sinA=AD\cdot sin\frac{A}{2}\left(b+c\right)$

<=>$bc.sin2\alpha =AD\cdot sin\alpha \left(b+c\right)$

<=>$2bc.sin\alpha .cos\alpha =AD\cdot sin\alpha \left(b+c\right)$

<=>$AD=\frac{2bc\cdot cos\alpha }{b+c}$ (dpcm)

a) Xét tam giác HAB và tam giác ABC có:

Góc AHB= góc BAC (= 90⁰ )

B> là góc chung

⇒ tam giác HAB ~ tam giác ABC (g.g)

b) Xét ΔΔ ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²
Hay BC² = 12² + 16²
BC² = 144 + 256 = 400
=> BC = √400 = 20 (cm)
Ta có : Δ HAB ∼ Δ ABC
=> $\frac{HA}{AB}=\frac{AB}{BC}$
Hay $\frac{HA}{12}=\frac{12}{20}$
=> AH = $\frac{12.12}{20}=7,2$ cm

c) 

Ta có

DE là tia phân giác của góc ADB trong tam giác DAB,

áp dụng t/c tia phân giác thì$\frac{DA}{DB}=\frac{AE}{EB}$

DG là tia phân giác cảu góc CDA trong tam giác CDA.

áp dụng t/c tia phân giác thì $\frac{CD}{DA}=\frac{CF}{FA}$

VẬy $\frac{EA}{EB}.\frac{DB}{DC}.\frac{FC}{FA}=\frac{DA}{DB}.\frac{DB}{DC}.\frac{CD}{DA}=1$(dpcm)

\(\left(\sqrt{1999}+\sqrt{2021}\right)^2\)

\(1999+2001+2\sqrt{1999.2001}\)

\(4000+2\sqrt{\left(2000-1\right)\left(2000+1\right)}\)

\(4000+2\sqrt{2000^2-1}\)

\(\left(2\sqrt{2000}\right)^2=4.2000=8000\)

\(4000+2\sqrt{2000^2}\)

\(\left(\sqrt{1999}+\sqrt{2001}\right)^2< \left(2\sqrt{2000}\right)^2\)

\(\sqrt{1999}+\sqrt{2001}< 2\sqrt{2000}\)

dòng đàu mình ghi nhầm thành\(\sqrt{2021}\)bạn sửa nha

a, Áp dụng định lý Pitago có : \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{25-9}=4\)

Còn 2 góc kia mình lười tính quá lắp công thức của định lý Côsin vào thôi

b,Theo tính chất của đường phân giác ta có : 

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}< =>\frac{EC}{4}=\frac{BE}{3}\)

Lại có :  \(BE+EC=BC\Rightarrow BE+EC=5\)

Đến đây áp dụng tc dãy tỉ số = nhau nhé 

c, đề k thấy 

a)Áp dụng định lí Pytago cho \(\Delta ABC\)vuông tại A, có:

\(AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{16}=4\left(cm\right)\)

Ta có : \(sinB=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}=sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\approx53^0\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\approx90^0-53^0\approx37^0\)

b)Áp dụng tính chất đường phân giác cho \(\Delta ABC\)có AE là phân giác ,có:

\(\frac{BE}{AB}=\frac{CE}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{3}=\frac{CE}{4}=\frac{BE+CE}{3+7}=\frac{BC}{7}=\frac{5}{7}\)(tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BE=\frac{15}{7}\\CE=\frac{20}{7}\end{cases}}\)

a, Hệ số a là \(1-\sqrt{2}\), hệ số b là 1

b, Hàm số trên nghịch biến, vì a < 0

c, Thay x= 0 vào hs ta được y= 1

    Thay \(x=1+\sqrt{2}\)vào hàm số, ta được 

   \(y=\left(1-\sqrt{2}\right).\left(1+\sqrt{2}\right)+1\)

  \(y=0\)

d, Thay x= 1, y= m vào hs ta được pt

  \(m=\left(1-\sqrt{2}\right).1+1\)

 \(m=2-\sqrt{2}\)

Vậy ...

\(\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}+\sqrt{3+\sqrt{13+4\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}+\sqrt{3+\sqrt{13+2\sqrt{12}}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{12}+1\right)^2}}+\sqrt{3+\sqrt{\left(\sqrt{12}+1\right)^2}}\)

\(=\sqrt{5-\sqrt{12}-1}+\sqrt{3+\sqrt{12}+1}\)(do \(\sqrt{12}+1>0\))

\(=\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}\)

\(=\sqrt{3}-1+\sqrt{3}+1\)(do \(\sqrt{3}>1>0\))

\(=2\sqrt{3}\)

Phần thứ 2 làm tương tự nhé bạn =))

Đề thiếu dữ liệu giả thiết =))

e chx đến tầm 

\(\left(\frac{x+2}{\sqrt{x}+1}-\sqrt{x}\right)\left(\frac{\sqrt{x}-4}{1-x}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(\left(\frac{x+2-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}\right)\left(\frac{4-\sqrt{x}}{x-1}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\)

\(\frac{x+2-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\frac{4-\sqrt{x}-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\frac{4-\sqrt{x}-x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(\frac{\left(2-\sqrt{x}\right).\left(4-x\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

đề lên sửa thành phép chia thì dễ hơn 

\(\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{4-x}\)

\(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}\)

Ta có: Đk: x \(\ge\)-5/4

Ta có: \(2x^2-6x-1=\sqrt{4x+5}\)

<=> \(4x^2-12x-2-2\sqrt{4x+5}=0\)

<=> \(4x^2-8x+4-\left(4x+5+2\sqrt{4x+5}+1\right)=0\)

<=> \(\left(2x-2\right)^2-\left(\sqrt{4x+5}+1\right)^2=0\)

<=> \(\left(2x-2-\sqrt{4x+5}-1\right)\left(2x-2+\sqrt{4x+5}+1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x-3-\sqrt{4x+5}=0\left(1\right)\\2x-1+\sqrt{4x+5}=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải pt (1) Ta có: \(2x-3=\sqrt{4x+5}\) (đk: x \(\ge\)3/2)

<=> \(4x^2-12x+9=4x+5\)

<=> \(4x^2-16x+4=0\)

<=> \(x^2-4x+1=0\)

\(\Delta'=\left(-2\right)^2-1=3>0\) => pt có 2 nghiệm pb

\(x_1=2+\sqrt{3}\)(tm) ; \(x_2=2-\sqrt{3}\)(ktm)

Giải pt (2) ta có: \(1-2x=\sqrt{4x+5}\) (đk: \(-\frac{5}{4}\le x\le\frac{1}{2}\))

<=> \(4x+5=4x^2-4x+1\)

<=> \(4x^2-8x-4=0\)

<=> \(x^2-2x-1=0\)

\(\Delta'=\left(-1\right)^2+1=2>0\) 

=> pt có 2 nghiệm pb 

\(x_1=1+\sqrt{2}\)ktm); \(x_2=1-\sqrt{2}\left(tm\right)\)

Vậy \(S=\left\{1-\sqrt{2};2+\sqrt{3}\right\}\)