a) Hàm số đồng biến khi x > 0 (do a = 3 > 0)

b) Hàm số nghịch biến khi x < 0 (do a = 3 > 0)

c) Bảng giá trị:

Đồ thị:

1: Thay x=36 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{36-5}{\sqrt{36}}=\dfrac{31}{6}\)

2: \(B=\dfrac{2x+\sqrt{x}}{x-1}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{2x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\dfrac{2x+\sqrt{x}+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{3x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{3x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\dfrac{x-5}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{\left(x-5\right)\left(3\sqrt{x}+2\right)}{x-1}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(3\sqrt{x}+2\right)-4\left(3\sqrt{x}+2\right)}{x-1}\)

\(=3\sqrt{x}+2-\dfrac{4\left(3\sqrt{x}+2\right)}{x-1}\)

Để P là số nguyên thì \(3\sqrt{x}+2⋮x-1\)

=>\(\left(3\sqrt{x}+2\right)\left(3\sqrt{x}-2\right)⋮x-1\)

=>\(9x-4⋮x-1\)

=>\(9x-9+5⋮x-1\)

=>\(5⋮x-1\)

=>\(x-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(x\in\left\{2;0;6;-4\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\left\{2;6\right\}\)

Khi x=2 thì \(P=3\sqrt{2}+2-\dfrac{4\left(3\sqrt{2}+2\right)}{2-1}\)

\(=3\sqrt{2}+2-4\left(3\sqrt{2}+2\right)=-3\left(3\sqrt{2}+2\right)\notin Z\)

=>Loại

Khi x=6 thì \(P=3\sqrt{6}+2-\dfrac{4\left(3\sqrt{6}+2\right)}{6-1}=3\sqrt{6}+2-\dfrac{4}{5}\left(3\sqrt{6}+2\right)\)

\(=\dfrac{1}{5}\left(3\sqrt{6}+2\right)\notin Z\)

=>Loại

Vậy: \(x\in\varnothing\)

\(1\ge\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1}\ge\dfrac{9}{a+1+b+1+c+1}\)

\(\Rightarrow a+b+c+3\ge9\Rightarrow a+b+c\ge6\)

Ta có:

\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-a\left(ab+b^2\right)}{a^2+ab+b^2}\)

\(=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a}{3}-\dfrac{b}{3}\)

Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\dfrac{2b}{3}-\dfrac{c}{3}\)

\(\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{2c}{3}-\dfrac{a}{3}\)

Cộng vế:

\(\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\dfrac{a+b+c}{3}\ge\dfrac{6}{3}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

ĐKXĐ: \(x\ne0;y\ne0\)

y-x=6

=>y=x+6

\(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{y}=\dfrac{1}{10}\)

=>\(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+6}=\dfrac{1}{10}\)

=>\(\dfrac{12\left(x+6\right)-12x}{x\left(x+6\right)}=\dfrac{1}{10}\)

=>\(\dfrac{72}{x\left(x+6\right)}=\dfrac{1}{10}\)

=>\(x\left(x+6\right)=720\)

=>\(x^2+6x-720=0\)

=>\(x^2+6x+9=729\)

=>\(\left(x+3\right)^2=729\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x+3=27\\x+3=-27\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=24\left(nhận\right)\\x=-30\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Khi x=24 thì \(y=x+6=24+6=30\left(nhận\right)\)

Khi x=-30 thì \(y=x+6=-30+6=-24\left(nhận\right)\)

Để A là số nguyên dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}⋮\sqrt{x}+3\\A>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\sqrt{x}+3-3⋮\sqrt{x}+3\)

=>\(-3⋮\sqrt{x}+3\)

=>\(\sqrt{x}+3\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(\sqrt{x}+3=3\)

=>x=0(loại)

vậy: Không có giá trị nào của x để A là số nguyên dương

a: Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

Xét tứ giác ADEH có \(\widehat{ADE}+\widehat{AHE}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADEH là tứ giác nội tiếp

Để K là số nguyên dương thì \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}⋮\sqrt{x}-3\\K>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-3+3⋮\sqrt{x}-3\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3⋮\sqrt{x}-3\\\sqrt{x}-3>0\end{matrix}\right.\)

=>\(\sqrt{x}-3\in\left\{1;3\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{4;6\right\}\)

=>\(x\in\left\{16;36\right\}\)

Gọi vận tốc của Thành là x(km/h)

(Điều kiện: x>0)

Vận tốc của Công là x+6(km/h)

Thời gian Thành đi là \(\dfrac{12}{x}\left(giờ\right)\)

Thời gian Công đi là \(\dfrac{12}{x+6}\left(giờ\right)\)

Công đến trước Thành 6p=0,1 giờ nên ta có:

\(\dfrac{12}{x}-\dfrac{12}{x+6}=0,1\)

=>\(\dfrac{12\left(x+6\right)-12x}{x\left(x+6\right)}=0,1\)

=>x(x+6)=720

=>\(x^2+6x-720=0\)

=>\(\left(x+30\right)\left(x-24\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-30\left(nhận\right)\\x=24\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

vậy: Vận tốc của Thành là 24km/h

Vận tốc của CÔng là 24+6=30km/h

Để P là số nguyên thì \(-2⋮\sqrt{x}+1\)

=>\(\sqrt{x}+1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;-2;1;-3\right\}\)

=>\(\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;1\right\}\)

Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(x\in\varnothing\)

=>Không có giá trị x nào để P nguyên

\(\left\{{}\begin{matrix}-2< 0\\\sqrt{x}+1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}< 0\Rightarrow P< 0\)

\(\sqrt{x}+1>1;\forall x>0\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}< 2\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}>-2\)

\(\Rightarrow-2< P< 0\)

Mà P nguyên \(\Rightarrow P=-1\Rightarrow\dfrac{-2}{\sqrt{x}+1}=-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1=2\Rightarrow x=1\) (ko thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy ko tồn tại x để P nguyên