A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³

⇒ 2A = 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁴

⇒ A = 2A - A

= (2 + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²⁴) - (1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²³)

= 2²⁰²⁴ - 1

\(A=1+2+2^2+...+2^{2023}\)

\(2\cdot A=2\cdot\left(1+2+2^2+...+2^{2023}\right)\)

\(2A=2+2^2+2^3+....+2^{2024}\)

\(2A-A=\left(2+2^2+...+2^{2024}\right)-\left(1+2+2^2+...+2^{2023}\right)\)

\(A=2+2^2+2^3+....+2^{2024}-1-2-2^2-...-2^{2023}\)

\(A=2^{2024}-1\)

Phần 2

Câu 5:

Gọi x (tổ) là số tổ có thể chia (x ∈ ℕ*)

⇒ x ∈ ƯC(27; 18)

Ta có:

27 = 3³

18 = 2.3²

⇒ ƯCLN(27; 18) = 3² = 9

⇒ x ∈ ƯC(27; 18) = Ư(9) = {1; 3; 9}

Vậy có 3 cách chia tổ là: 1 tổ; 3 tổ và 9 tổ

Để mỗi tổ có số học sinh ít nhất thì số tổ là lớn nhất là 9 tổ

Phần 2

Câu 6

Gọi x (cây) là số cây cần tìm (x ∈ ℕ*)

Do số cây là nhỏ nhất và khi chia 3 dư 2, chia 4 dư 3, chia 5 dư 4, chia 10 dư 9 nên x + 1 = BCNN(3; 4; 5; 10)

Ta có:

3 = 3

4 = 2²

5 = 5

10 = 2.5

⇒ x + 1 = BCNN(3; 4; 5; 10) = 2².3.5 = 60

⇒ x = 60 - 1 = 59

Vậy số cây cần tìm là 59 cây

YES

Ýe

\(d=UCLN\left(12n+1,30n+1\right)\)

\(12n+1⋮d\Rightarrow60n+5⋮d\)

\(30n+1⋮d\Rightarrow60n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow3⋮d\)

\(d\in\left\{1;3\right\}\)

Mà \(12n+1\)\(⋮̸\)\(3\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(UCLN\left(12n+1,30n+1\right)=1\)

Gọi d = ƯCLN(12n + 1; 30n + 1)

⇒ (12n + 1) ⋮ d và (30n + 1) ⋮ d

*) (12n + 1) ⋮ d

⇒ 5.(12n + 1) ⋮ d

⇒ (60n + 5) ⋮ d   (1)

*) (30n + 1) ⋮ d

⇒ 2.(30n + 1) ⋮ d

⇒ (60n + 2) ⋮ d   (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(60n + 5 - 60n - 2) ⋮ d

⇒ 3 d

⇒ d = 1 hoặc d = 3

Mà 3 > 1

⇒ d = 3

\(A=3^0+3^1+3^2+...+3^{138}\)

\(3\cdot A=3^1+3^2+3^3+...+3^{139}\)

\(A=(3^{139}-3^0):2\)

\(A=\left(3^{139}-1\right):2\)

Đặt A = 1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹³⁷ + 3¹³⁸

⇒ 3A = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹³⁸ + 3¹³⁹

⇒ 2A = 3A - A

= (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹³⁸ + 3¹³⁹) - (1 + 3 + 3² + 3³ + ... + 3¹³⁷ + 3¹³⁸)

= 3¹³⁹ - 1

⇒ A = (3¹³⁹ - 1)/3

⇒ 1 + 3 + 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3¹³⁷ + 3¹³⁸

= (3¹³⁹ - 1)/3 + 3

= (3¹³⁹ + 2)/3

72 = 2³.3²

104 = 2³.13

180 = 2².3².5

ƯCLN(72; 104; 180) = 2² = 4

72 = 2³ . 3²

104 = 2³ . 13

180 = 2² . 3² . 5

ƯCLN(72; 104; 180) = 2² . 3² = 36

a) (-42) + 71 + (-58) + 29

= (71 + 29) - (42 + 58)

= 100 - 100

= 0

b) (42.84 + 42.16) - (25.47 + 25.53)

= 42.(84 + 16) - 25.(47 + 53)

= 42.100 - 25.100

= 100.(42 - 25)

= 100.17

= 1700

c) 45 - {61 - [2.(2³ + 4.3) + (256 - 246).2¹^¹⁹⁹⁹]}

= 45 - {61 - [2.(8 + 12) + 10.2¹]}

= 45 - [61 - (2.20 + 10.2)]

= 45 - [61 - (40 + 20)]

= 45 - (61 - 60)

= 45 - 1

= 44

\(7x+3y⋮9\)

Ta có

\(9x+9y⋮9\)

\(\Rightarrow\left(9x+9y\right)-\left(7x+3y\right)=2x+6y⋮9\)

 Theo bài ra ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}9x+9y⋮9\\2x+6y⋮9\end{matrix}\right.\)

 ⇔ 9\(x\) + 9y - (2\(x\) + 6y) ⋮ 9

⇔ 9\(x\) + 9y - 2\(x\) - 6y ⋮ 9

⇔ (9\(x\) - 2\(x\)) + (9y - 6y)⋮ 9

⇔ 7\(x\) + 3y ⋮ 9(đpcm)

Số học sinh nam:

(35 + 7) : 2 = 21 (học sinh)

Số học sinh nữ:

35 - 21 = 14 (học sinh)

Gọi x là số tổ có thể chia (x ∈ ℕ)

⇒ x ∈ ƯC(21; 14)

Ta có:

21 = 3.7

14 = 2.7

⇒ ƯCLN(21; 14) = 7

⇒ x ∈ ƯC(21; 14) = Ư(7) = {1; 7}

Vậy có thể chia số học sinh nam và nữ thành 1 tổ hoặc 7 tổ

*) Khi chia thành 1 tổ thì số học sinh nam là 21 học sinh, số học sinh nữ là 14 học sinh

*) Khi chia thành 7 tổ thì mỗi tổ có:

21 : 7 = 3 học sinh nam

14 : 7 = 2 học sinh nữ

Lời giải:

Ta thấy

$3^2\vdots 9$

$3^3=3^2.3\vdots 9$

......

$3^{20}=3^2.3^{18}\vdots 9$

$\Rightarrow 3^2+3^3+...+3^{20}\vdots 9$

$\Rightarrow A=3+3^2+3^3+...+3^{20}$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9

$\Rightarrow A$ không thể là số chính phương.