Xét \(2-\sqrt{10}=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right);3-\sqrt{15}=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)\)

mà \(\sqrt{2}< \sqrt{3}\)

Vậy \(2-\sqrt{10}< 3-\sqrt{15}\)

A B C D' E F P I I I 1 2 G

Gọi \(D'\) là điểm liên hợp đẳng giác với \(A\) trong \(\Delta II_1I_2\), \(IB\) giao \(DE\) tại \(G\)

Ta có \(\widehat{BGD}=\widehat{CDE}-\widehat{DBG}=90^0-\widehat{\frac{1}{2}ACB}-\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\widehat{IAE}\)

Suy ra \(\left(A,F,I,E,G\right)_{cyc}\) hay \(\widehat{IGA}=90^0\)

Vì \(\widehat{D'I_1I_2}=\widehat{GI_1A}\) và \(\widehat{I_1D'I_2}=180^0-\widehat{II_1A}-\widehat{II_2A}=180^0-\left(\widehat{BIC}-\frac{1}{2}\widehat{BAC}\right)=90^0\)

nên \(\Delta I_1GA~\Delta I_1D'I_2\), dẫn đến \(\Delta I_1D'G~\Delta I_1I_2A\)

Suy ra \(\widehat{I_1GD'}=\widehat{I_1AI_2}=\widehat{IAE}=180^0-\widehat{IGE}\), do đó \(\overline{E,G,D'}\) hay \(D'\in DE\)

Tương tự ta có \(D'\in DF\). Từ đó \(D\equiv D'\), suy ra \(\widehat{I_1DI_2}=\widehat{I_1D'I_2}=90^0=\widehat{I_1PI_2}\)

Vậy \(\left(I_1,I_2,P,D\right)_{cyc}.\)

a)  Vì M,D,C thuộc đường tròn đường kính MC

=> góc MDC = 90 độ

Lại có AB vuông góc với AC => góc BAC = 90 độ

Xét tứ giác  ABCD có: \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

Mà 2 đỉnh A,D cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc vuông

=> ABCD nội tiếp

=> A,B,C,D thuộc 1 đường tròn

b)  Xét tam giác ABC có: O là trugn điểm của BC,  M là trung điểm của AC

=> OM là đường trung bình của tam giác ABC

\(\Rightarrow OM//AB\)

Mà \(AB\perp AC\)

\(\Rightarrow OM\perp AC\)

Xét đường tròn đường kính MC có OM vuông góc với MC ( cmt)

=> OM là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MC

c)  Vì M,N,C  thuộc đường tròn đường kính MC

=> góc MNC = 90 độ

\(\Rightarrow MN\perp NC\)(1)

Xét tam giác BEC có:

\(\hept{\begin{cases}CA\perp BE\\BD\perp EC\end{cases}}\) và CA cắt BD tại M

=> M là trực tâm của tam giác BEC

=> \(EM\perp BC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => E,M,N thẳng hàng ( đpcm )

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Áp dụng định lí Pytago cho tam giác ABC vuông tại A

\(BC^2=AB^2+AC^2=4+25=29\Rightarrow BC=\sqrt{29}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{10}{\sqrt{29}}=\frac{10\sqrt{29}}{29}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{AB^2}{BC}=\frac{4}{\sqrt{29}}=\frac{4\sqrt{29}}{29}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=CH.BC\Rightarrow CH=\frac{AC^2}{BC}=\frac{25}{\sqrt{29}}=\frac{25\sqrt{29}}{29}\)cm 

a) Giả sử \(\sqrt{7}\)là số hữu tỉ.

\(\Rightarrow\sqrt{7}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℤ;\left(a;b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow a=\sqrt{7}b\)

\(\Rightarrow a^2=7b^2\)

\(\Rightarrow a^2⋮7\)

\(\Rightarrow a⋮7\)(do 7 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow a=7k\left(k\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow7b^2=49k^2\)

\(\Rightarrow b^2=7k^2\)

\(\Rightarrow b^2⋮7\)

\(\Rightarrow b⋮7\)(do 7 là số nguyên tố)

\(\Rightarrow a;b\in B\left(7\right)\)

\(\Rightarrow\)Mẫu thuẫn với (a;b)=1

\(\Rightarrow\)Điều giả sử là sai

\(\Rightarrow\sqrt{7}\)là số vô tỉ

\(x+\sqrt{x+\frac{1}{2}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}}=2\)

\(x+\sqrt{x+\frac{1}{4}+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}^2}=2\)

\(x+\sqrt{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)^2}=2\)

\(x+\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=2\)

\(\sqrt{x+\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}-x\)

\(x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}-3x+x^2\)

\(x^2-4x+2=0\)

\(\Delta=\left(-4\right)^2-\left(4.2.1\right)=8\)

\(\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}\)

\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}=2+\sqrt{3}\left(TM\right)\\x_2=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}\left(TM\right)\end{cases}}\)