Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(M=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{x+\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{x+2\sqrt{x}+1}\)
=> \(M=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}-1}\)
=> \(M=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}-1}\)
=> \(M=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
a) \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}=\frac{1+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}=\frac{2\sqrt{x}}{x-1}\)( x > 0 ; x ≠ 1 )
b) \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}}{x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2-2\sqrt{x}-4+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{-6}{x-4}\)( x > 0 ; x ≠ 4 )
a) Với \(x>0\)và \(x\ne1\)ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{1+\sqrt{x}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1+\sqrt{x}-1+x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}\)
b) Với \(x>0\)và \(x\ne4\)ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{4-x}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}-\frac{2}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{2\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)-2\left(\sqrt{x}+2\right)+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-2-2\sqrt{x}-4+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{-6}{x-4}\)
\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\begin{document}
Cho biểu thức: $A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}$.
\begin{enumerate}
\item Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức.
\item Tìm các giá trị của $x$ để $A < 0$.
\end{enumerate}
\section*{Lời giải}
\subsection*{a) Tìm điều kiện và rút gọn biểu thức}
\subsubsection*{Điều kiện xác định}
Để biểu thức $A$ có nghĩa, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:
\begin{itemize}
\item $x \ge 0$ (để các căn thức có nghĩa).
\item $\sqrt{x}-1 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 1 \Rightarrow x \ne 1$.
\item $x-1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.
\item $\sqrt{x}+1 \ne 0$, điều này luôn đúng với $x \ge 0$.
\end{itemize}
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là $x \ge 0$ và $x \ne 1$.
\subsubsection*{Rút gọn biểu thức}
Ta có:
$$A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{x-1} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}+1}$$
Phân tích mẫu số $x-1 = (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$:
$$A = \left( \frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \right) \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \left( \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \right) \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} \cdot (\sqrt{x}+1)$$
$$A = \frac{1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt
a: ĐKXĐ: x>=0; x<>1
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{x-1}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\cdot\left(\sqrt{x}+1\right)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
b: Để A<0 thì \(\frac{1}{\sqrt{x}-1}<0\)
=>\(\sqrt{x}-1<0\)
=>\(\sqrt{x}<1\)
=>0<=x<1
\(B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right)\div\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)
\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\div\frac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x-1}\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\div\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.\left(\sqrt{x}-1\right)\)
\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)
\(A=\left(\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\div\frac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}+1}\)
ĐKXĐ : \(\hept{\begin{cases}x>0\\x\ne1\end{cases}}\)
\(=\left(\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\div\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\times\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\)
Để A > 0
=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}>0\)
Xét hai trường hợp :
1. \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1>0\\\sqrt{x}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}>1\\\sqrt{x}>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>1\\x>0\end{cases}}\Leftrightarrow x>1\)
2. \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1< 0\\\sqrt{x}< 0\end{cases}}\)( dễ thấy trường hợp này không xảy ra :> )
Vậy với x > 1 thì A > 0
a) \(\frac{\sqrt{4mn^2}}{\sqrt{20m}}=\sqrt{\frac{4mn^2}{20m}}=\sqrt{\frac{n^2}{5}}=\frac{n}{\sqrt{5}}\)
b) \(\frac{\sqrt{16a^4b^6}}{\sqrt{12a^6b^6}}=\sqrt{\frac{16a^4b^6}{12a^6b^6}}=\sqrt{\frac{4}{3a^2}}=\frac{2}{\sqrt{3}.\left|a\right|}=-\frac{2}{a\sqrt{3}}\)
d) \(\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y\)
e) \(\sqrt{\frac{x-2\sqrt{x}+1}{x+2\sqrt{x}+1}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}}=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}\)
@Mai.T.Loan câu a pha cuối hơi tắt đó nhìn khó hiểu lắm
còn câu b kl sai r nha
Ta có: \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\)
\(=\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}-1+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}\)
Ta có: \(M=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{x-1}\right)\)
\(=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{1}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\)
có tháy j đâu??