Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Nối DM và AB kéo dài cắt nhau tại E
Do BM song song và bằng 1 nửa AD \(\Rightarrow BM\) là đường trung bình tam giác ADE
\(\Rightarrow AE=2BE\Rightarrow d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)
Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}BN\cap\left(SMD\right)=S\\NS=\dfrac{1}{3}BS\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(B;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}d\left(A;\left(SMD\right)\right)\)
Từ A kẻ AF vuông góc MD (F thuộc MD), từ A kẻ AH vuông góc SF (H thuộc SF)
\(\Rightarrow AH\perp\left(SMD\right)\Rightarrow AH=d\left(A:\left(SMD\right)\right)\)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông ADE:
\(\Rightarrow AF=\dfrac{AD.AE}{DE}=\dfrac{AD.2AB}{\sqrt{AD^2+\left(2AB\right)^2}}=\dfrac{8a\sqrt{17}}{17}\)
\(SA=\sqrt{SD^2-AD^2}=a\sqrt{21}\)
Hệ thức lượng: \(AH=\dfrac{SA.AF}{\sqrt{SA^2+AF^2}}=...\)
\(\Rightarrow d\left(N;\left(SMD\right)\right)=\dfrac{1}{6}AF=...\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa SB và (ABCD)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\Rightarrow SA=AB.tan45^0=a\)
Gọi O là tâm đáy \(\Rightarrow AO=CO\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
Kẻ AH vuông góc BD, kẻ AK vuông góc SH
\(\Rightarrow AK\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SBD\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{4a^2}=\dfrac{5}{4a^2}\)
\(\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{5}{4a^2}=\dfrac{9}{4a^2}\)
\(\Rightarrow AK=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow d\left(C;\left(SBD\right)\right)=\dfrac{2a}{3}\)
a) Nhận xét: Tam giác ABD là tam giác đều. Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABD), ta có:
Hình 3.91
SA = SB = SD ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
⇒ H là trọng tâm tam giác ABD
⇒ H ∈ AC.
⇒ (SAC) ⊥ (ABCD).
b) Ta có:
Ta có hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc mặt phẳng đáy và SA = a
Gọi tọa độ các điểm như sau:
A(0;0;0)
B(a;0;0)
C(a;2a;0)
D(0;2a;0)
S(0;0;a)
Véc tơ SB = B - S = (a;0;-a)
Véc tơ BD = D - B = (-a;2a;0)
Véc tơ CB = B - C = (-0;-2a;0)
Véc tơ AC = C - A = (a;2a;0)
Véc tơ SD = D - S = (0;2a;-a)
Gọi d là khoảng cách giữa hai đường chéo nhau SB và BD
Ta dùng công thức
d = |(SB × BD) · (D - S)| / |SB × BD|
Tính tích có hướng SB × BD
SB = (a;0;-a), BD = (-a;2a;0)
SB × BD = (2a²; a²; 2a²)
Tính tích vô hướng với véc tơ DS = (0;2a;-a)
(SB × BD) · DS = 2a²·0 + a²·2a + 2a²·(-a) = 0 + 2a³ - 2a³ = 0
⇒ khoảng cách bằng 0
Vậy SB và BD cắt nhau hoặc nằm trong cùng mặt phẳng
Nhưng SB không nằm trong mặt đáy, nên SB và BD cắt nhau tại 1 điểm ⇒ khoảng cách bằng 0
SB = (a;0;-a), CB = (0;-2a;0)
Dùng công thức
d = |(SB × CB) · (C - S)| / |SB × CB|
Tính SB × CB:
= (a;0;-a) × (0;-2a;0) = (-2a²; 0; -2a²)
C - S = (a;2a;-a)
Tính tích vô hướng:
(-2a²; 0; -2a²) · (a;2a;-a) = -2a³ + 0 + 2a³ = 0
⇒ khoảng cách bằng 0
Vậy hai đường SB và CB cắt nhau ⇒ khoảng cách = 0
AC = (a;2a;0)
SD = (0;2a;-a)
Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt chứa hai đường là tích có hướng của AC và SD
AC × SD = (a;2a;0) × (0;2a;-a) = (-2a²; a²; 2a²)
Chọn điểm A thuộc AC và điểm S thuộc SD
Tính véc tơ SA = (0;0;a)
Tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau AC và SD bằng công thức
d = |(AC × SD) · SA| / |AC × SD|
Tử số: (-2a²; a²; 2a²) · (0;0;a) = 2a³
Mẫu số: |AC × SD| = √((-2a²)² + (a²)² + (2a²)²) = √(4a⁴ + a⁴ + 4a⁴) = √9a⁴ = 3a²
Vậy d = 2a³ / 3a² = 2a/3
Đáp số:
khoảng cách từ SB đến BD: 0
khoảng cách từ SB đến CB: 0
khoảng cách từ AC đến SD: 2a/3
Cho mình xin 1 tick với ạ.