Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=5\left(x+y+z\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(\ge5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{2.9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=5.\left(\frac{3}{4}\right)^2+\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{2.9}{\frac{4.3}{4}}=9\)
\(M=\frac{2x+y+z-15}{x}+\frac{x+2y+z-15}{y}+\frac{x+y+2z-15}{z}\)
\(M-3=\frac{x+y+z-15}{x}+\frac{x+y+z-15}{y}+\frac{x+y+z-15}{z}\)
\(M-3=\left(x+y+z-15\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
\(\Rightarrow M\ge\left(x+y+z-15\right)\cdot\frac{9}{x+y+z}+3=\frac{3}{4}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=4\)
\(ĐK:x,y,z>\frac{1}{2}\)
Ta có: \(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{3y}{2}+\frac{y+2x}{2}\right)^2\ge4.\frac{3y}{2}.\frac{y+2x}{2}=3y\left(2x+y\right)\)\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{x+2y}{3xy}=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự: \(\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\); \(\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\)
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(VT\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Bài 1
M=2x+y+z−15x+x+2y+z−15y+x+y+2z−15z
M=x+12−15x+y+12−15y+z+12−15z
M=x−3x+y−3y+z−3z
M=1−3x+1−3y+1−3z
M=3−(3x+3y+3z)
M=3−3(1x+1y+1z)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
⇒1x+1y+1z≥(1+1+1)2x+y+z=9x+y+z=34
⇒3(1x+1y+1z)≥94
⇒3−3(1x+1y+1z)≤34
⇔M≤34
Vậy M max=34
Dấu " = " xảy ra khi x=y=z=4
Bai nay tim GTLN moi dung nha
Áp dụng BĐT Cô-si: \(\sqrt{\frac{x}{y+z+2x}.\frac{1}{4}}\le\frac{\frac{x}{y+z+2x}+\frac{1}{4}}{2}\le\frac{\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{4}}{2}\)\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z+2x}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{4}\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{y}{z+x+2y}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{4}\); \(\sqrt{\frac{z}{x+y+2z}}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)+\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế, ta được: \(VT\le\frac{1}{4}.3+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
Thay \(x+y+z=12\) thì:
\(M=\frac{x+12-15}{x}+\frac{y+12-15}{y}+\frac{z+12-15}{z}\)
\(M=\frac{x-3}{x}+\frac{y-3}{y}+\frac{z-3}{z}=1-\frac{3}{x}+1-\frac{3}{y}+1-\frac{3}{z}\)
\(M=3-3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Với điều kiện trên của $x,y,z$ thì biểu thức M có max thôi em nhé.
\(M=\dfrac{2x+y+z-15}{x}+\dfrac{x+2y+z-15}{y}+\dfrac{x+y+2z-15}{z}\)
\(M=\dfrac{x+\left(x+y+z\right)-15}{x}+\dfrac{y+\left(x+y+z\right)-15}{y}+\dfrac{z+\left(x+y+z\right)-15}{z}\)\(M=\dfrac{x-3}{x}+\dfrac{y-3}{y}+\dfrac{z-3}{z}\)
\(\dfrac{3-M}{3}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\) cần tìm max \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=N\)
c/m không tồn tại N_max
trong 3 số (x;y;z) chỉ cần một số tiến đến 0 ; N-->vô cùng
koo ai muốn hết vs lại đừng trả lời linh tinh vào câu hỏi của người khác nữa
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
chịu