Question

[Trịnh Thái Duy]

Cho tứ giác ABCD có góc A vuông,CA=CD. Trên tia đối của tiaCB lấy K sao choCK =CB. Tính góc ADK. biết abcd là tứ giác lồi và góc a và góc c là 2 góc đối diện

Answer 1

[Trịnh Thái Duy]

pls ai bt trl nhanh đc k sp đi hok r

Answer 2

[𝐋𝐘𝐋𝐘]

Phân tích:

1. Xét tam giác △ACD:

• ∠A = 90°, CA = CD ⇒ tam giác ACD vuông cân tại C (vì góc A vuông, và CA = CD).
• ⇒ ∠ACD = ∠ADC = 45°

---

2. Xét điểm K:

• K nằm trên tia đối của CB, tức là điểm K, C, B nằm thẳng hàng, theo thứ tự K – C – B.
• CK = CB ⇒ C là trung điểm của đoạn KB ⇒ tam giác KCB cân tại C.

---

3. Yêu cầu: Tính góc ∠ADK

Ta cần tính góc tạo bởi hai đoạn DA và DK.

Ta biết:

• ∠DAB là một phần của góc vuông tại A.
• DK cắt từ D đến K (K nằm trên tia ngược với CB).
• Do các dữ kiện khá hình học, ta nên vẽ hình hoặc sử dụng một hệ trục tọa độ để dễ tính toán.

---

Đặt hệ trục tọa độ:

Ta chọn tọa độ sao cho đơn giản:

• Đặt A(0, 0)
• Vì ∠A = 90°, ta đặt:
• • B(0, b) (trên trục Oy)
  • D(a, 0) (trên trục Ox)

⇒ Khi đó, ta dễ dàng thấy ∠A = 90° (góc vuông giữa hai trục).

---

Tìm điểm C:

Giả sử điểm C sao cho CA = CD.

Gọi C(x, y), ta có:

• CA² = x² + y²
• CD² = (x – a)² + y²

Vì CA = CD ⇒ CA² = CD²:

\(x^{2} + y^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + y^{2} \Rightarrow x^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2}\)

Giải phương trình:

\(x^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} \Rightarrow - 2 a x + a^{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2}\)

⇒ Vậy điểm C có hoành độ \(\frac{a}{2}\), tung độ y tùy ý. Ta chọn y > 0 cho phù hợp với hình vẽ.

---

Tìm điểm K:

• K nằm trên đường thẳng BC, nhưng nằm ngoài B theo hướng ngược lại, và CK = CB.
• Vì CB và CK có độ dài bằng nhau, và K – C – B thẳng hàng ⇒ C là trung điểm KB.

⇒ Gọi tọa độ B là (0, b), C là \(\left(\right. \frac{a}{2} , y \left.\right)\), thì K có tọa độ:

\(K = 2 \cdot C - B = 2 \left(\right. \frac{a}{2} , y \left.\right) - \left(\right. 0 , b \left.\right) = \left(\right. a , 2 y - b \left.\right)\)

---

Bây giờ tính góc ∠ADK

Ta có 3 điểm:

• D: (a, 0)
• A: (0, 0)
• K: (a, 2y – b)

Tính góc ∠ADK là góc giữa hai vectơ:

• →DA = (0 – a, 0 – 0) = (–a, 0)
• →DK = (a – a, (2y – b) – 0) = (0, 2y – b)

Góc giữa hai vectơ DA và DK là góc giữa vectơ ngang và vectơ thẳng đứng.

⇒ Vì một vectơ nằm ngang, một vectơ nằm thẳng đứng ⇒ góc giữa chúng là 90°.

---

\(\boxed{\angle A D K = 90^{\circ}}\)