Question

[Dương Minh Châu]

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH(AB > AC) trên đoạn HB lấy điểm D sao cho HC = HD. Kẻ DE vuông góc AB tại E.
a) CMR: HE = HA
b) Gọi K là chung điểm BD. CMR: EH và EK vuông góc với nhau

Answer 1

[꧁V҉I҉Ê҉T҉T҉R҉Ọ҉N҉G҉M҉A҉V҉Ư҉Ơ҉N҉G҉꧂]

a) Chứng minh HE = HA

• Tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao ⇒ AH ⊥ BC.
• D là điểm nằm trên đoạn HB sao cho HD = HC, nghĩa là H là trung điểm của đoạn DC.
• Kẻ DE ⊥ AB tại E.

Xét hai tam giác vuông AHA và EHD:

• Xét tam giác HDE và tam giác HAC:
• • HD = HC (giả thiết)
  • Góc HDE = góc HAC = 90°
  • Cùng có cạnh chung là đoạn AH = HE (sẽ chỉ ra sau)
• Vì HD = HC, tam giác DHC cân tại H.
• Mà DE ⊥ AB và AH ⊥ BC, nên các đoạn DE và AH có vai trò tương tự trong hình.

Xét tam giác vuông HEA, trong đó:

• Góc tại E và góc tại A đều là vuông
• H nằm giữa hai đường vuông góc đó
• Ta suy ra tam giác HEA vuông cân tại H

⇒ HE = HA

Answer 2

[꧁V҉I҉Ê҉T҉T҉R҉Ọ҉N҉G҉M҉A҉V҉Ư҉Ơ҉N҉G҉꧂]

b) Chứng minh EH ⊥ EK, với K là trung điểm của BD

• Gọi K là trung điểm đoạn BD
• Đã biết: H là trung điểm của đoạn DC (do HD = HC)
  ⇒ Hai điểm K và H lần lượt là trung điểm của BD và DC
  ⇒ Đoạn nối K và H là đường trung bình của tam giác BDC
  ⇒ KH // BC
• Mà AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ KH
• Từ phần a, ta đã có tam giác HEA vuông cân tại H ⇒ góc EHA = 90°
  ⇒ EH ⊥ AH

Mà AH ⊥ KH ⇒ EH ⊥ KH

Mà điểm K nằm trên KH ⇒ EH ⊥ EK