Question

[Thị Huyền Bùi]

Tìm x;y nguyên biết:

x^2+8y^2-6xy+2x-5y-1=0

Answer 1

[Tạ Đức An Nguyên]

hứ

Answer 2

[Lê Song Phương]

GIả sử \(VT=\left(x+ay+b\right)\left(x+cy+d\right)+k\)

Khi đó \(VT=x^2+cxy+dx+axy+acy^2+ady+bx+bcy+bd+k\)

\(VT=x^2+cay^2+\left(a+c\right)xy+\left(b+d\right)x+\left(ad+bc\right)y+bd+k\)

Đồng nhất hệ số, ta được \(\begin{cases}ca=8\left(1\right)\\ a+c=-6\left(2\right)\\ b+d=2\left(3\right)\\ ad+bc=-5\left(4\right)\end{cases}\) và \(bd+k=-1\) (5)

Từ \(\left(2\right)\lrArr c=-6-a\), thế vào (1) ta được \(\left(-6-a\right)a=8\)

\(\lrArr-a^2-6a=8\)

\(\lrArr a^2+6a+8=0\)

\(\lrArr a^2+2a+4a+8=0\)

\(\lrArr a\left(a+2\right)+4\left(a+2\right)=0\)

\(\lrArr\left(a+2\right)\left(a+4\right)=0\)

\(\lrArr\left[\begin{array}{l}a=-2\\ a=-4\end{array}\right.\)

Nếu \(a=-2\rArr c=-4\) , \(a=-4\rArr c=-2\) , nhưng do a và c có vai trò như nhau trong VT nên không mất tổng quát, ta chọn \(a=-2,c=-4\). Thế vào (4), ta có \(-2d-4b=-5\) hay \(4b+2d=5\). (6)

Lại có \(\left(3\right)\lrArr d=2-b\) , thế vào (6), ta được \(4b+2\left(2-b\right)=5\lrArr b=\frac12\), suy ra \(d=\frac32\). Thế vào (5), suy ra \(k=-\frac74\)

Như vậy pt đã cho tương đương với \(\left(x-2y+\frac12\right)\left(x-4y+\frac32\right)-\frac74=0\)

Nhân cả 2 vế của pt này với 4 rồi chuyển vế, ta được \(\left(2x-4y+1\right)\left(2x-8y+3\right)=7\)

Ta xét các trường hợp:

2x-4y+1	1	-1	7	-7
2x-8y+3	7	-7	1	-1
x	-2	3	7	-6
y	-1	2	2	-1

Vậy pt đã cho có 4 nghiệm nguyên (x, y) là \(\left(-2,-1\right);\left(3,2\right);\left(7,2\right);\left(-6,-1\right)\)