Question

[Uyên Nhã Nguyễn]

Bài 7. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AH.

a) Chứng minh các tứ giác BCEF, AEHF nội tiếp và AF.AB = AE.AC.

b) Gọi N là giao điểm của AH và EF, K là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF. Chứng minh MN vuông góc KI.

c) Cho BAC = 60°. Tính độ dài BC và diện tích hình quạt OBC của (O) theo R.

CẦN GẤP Ạ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác BFEC có \(\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^0\)

nên BFEC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>\(\hat{BFE}+\hat{BCE}=180^0\)

mà \(\hat{BFE}+\hat{AFE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

Xét tứ giác AEHF có \(\hat{AEH}+\hat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

Xét ΔAFE và ΔACB có

\(\hat{AFE}=\hat{ACB}\)

góc FAE chung

Do đó: ΔAFE~ΔACB

=>\(\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

=>\(AF\cdot AB=AE\cdot AC\)

b: Xét ΔABC có

CF,BE là các đường cao

CF cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH⊥BC

=>IH⊥KM

TA có: BFEC nội tiếp đường tròn đường kínhBC

mà M là trung điểm của BC

nên ME=MF

=>M nằm trên đường trung trực của EF(1)

Ta có: AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH

mà I là trung điểm của AH

nên IF=IE

=>I nằm trên đường trung trực của FE(2)

Từ (1),(2) suy ra MI là đường trung trực của EF

=>MI⊥FE

Xét ΔIKM có

KN,IH là các đường cao

KN cắt IH tại N

Do đó N là trực tâm của ΔIKM

=>MN⊥KI

c: Xét ΔBAC có \(\frac{BC}{\sin BAC}=2R\)

=>\(\frac{BC}{sin60}=2R\)

=>\(BC=2R\cdot\sin60=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3\)

Xét (O) có \(\hat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{BAC}=120^0\)

Diện tích hình quạt tròn OBC là:

\(S_{q\left(BOC\right)}=\frac{\pi\cdot R^2\cdot n}{360}=\frac{\pi\cdot R^2\cdot120}{360}=\pi\cdot R^2\cdot\frac13\)

Answer 2

[Trần Linh Nhi]

12