Question

[Vũ Duy Hưng]

Một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho các đội viên trong phân đội. Cách chia được thực hiện như sau :

Bạn thứ nhất được 1 cái kẹo và lấy thêm 1/11 số kẹo còn lại. Bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại. Cứ như vậy đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và lấy thêm 1/11 số kẹo còn lại thì vừa hết. Hỏi phân đội có bao nhiêu người và mỗi đội viên được bao nhiêu cái kẹo ?

Answer 1

[Phong]

Gọi `k` là số viên kẹo mà đội đã phân `(k∈N`*`)`

Đội viên thứ nhất lấy đi 1 viên và lấy đi `1/11` số kẹo còn lại

`=>` Số kẹo đv thứ nhất lấy là: `1+1/11*(k-1)=1/11k+10/11` (viên)

Số kẹo còn lại: `k-1-1/11*(k-1)=10/11(k-1)` (viên)

Đội viên thứ hai lấy đi 2 viên và lấy đi `1/11` số kẹo còn lại suy ra:

`=>` Số kẹo đv thứ 2 lấy là: `2+1/11*[10/11(k-1)-2]=(10k+210)/121`

Vì số kẹo là chia đều nên số kẹo đv 1 nhận được bằng số kẹo đv 2 nhận được ta có:

`1/11k+10/11=(10k+210)/121`

`<=>11k+110=10k+210`

`<=>11k-10k=210-110`

`<=>k=100(N)`

Vậy số kẹo là 100 viên mỗi bạn sẽ nhận được: `1/11*100+10/11=10` (viên)

Số đội viên là: `100:10=10` (đội viên)

Answer 2

[Đoàn Hải Uyên]

Gọi \(K\) là tổng số kẹo ban đầu, \(n\) là số đội viên trong phân đội. Gọi \(x_{i}\) là số kẹo còn lại sau khi bạn thứ \(i\) nhận kẹo. Bước 1: Thiết lập phương trình cho bạn thứ nhất Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và \(\frac{1}{11}\) số kẹo còn lại, vậy bạn thứ nhất nhận \(1 + \frac{x_{1}}{11}\) kẹo. Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận là: \(x_{1} = K - \left(\right. 1 + \frac{x_{1}}{11} \left.\right)\) \(x_{1} = K - 1 - \frac{x_{1}}{11}\) \(\frac{12}{11} x_{1} = K - 1\) \(x_{1} = \frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right)\) Bước 2: Thiết lập phương trình cho bạn thứ hai Bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và \(\frac{1}{11}\) số kẹo còn lại, vậy bạn thứ hai nhận \(2 + \frac{x_{2}}{11}\) kẹo. Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ hai nhận là: \(x_{2} = x_{1} - \left(\right. 2 + \frac{x_{2}}{11} \left.\right)\) \(x_{2} = x_{1} - 2 - \frac{x_{2}}{11}\) \(\frac{12}{11} x_{2} = x_{1} - 2\) \(x_{2} = \frac{11}{12} \left(\right. x_{1} - 2 \left.\right)\) Bước 3: Thiết lập phương trình tổng quát Bạn thứ \(i\) nhận \(i + \frac{x_{i}}{11}\) kẹo. \(x_{i} = x_{i - 1} - \left(\right. i + \frac{x_{i}}{11} \left.\right)\) \(\frac{12}{11} x_{i} = x_{i - 1} - i\) \(x_{i} = \frac{11}{12} \left(\right. x_{i - 1} - i \left.\right)\) Bước 4: Tìm mối liên hệ giữa số kẹo mỗi bạn nhận Vì số kẹo mỗi bạn nhận được là như nhau, nên: \(1 + \frac{x_{1}}{11} = 2 + \frac{x_{2}}{11}\) \(1 + \frac{\frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right)}{11} = 2 + \frac{\frac{11}{12} \left(\right. \frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right) - 2 \left.\right)}{11}\) \(1 + \frac{K - 1}{12} = 2 + \frac{\frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right) - 24}{12}\) \(12 + K - 1 = 24 + \frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right) - 24\) \(K + 11 = \frac{11}{12} \left(\right. K - 1 \left.\right)\) \(12 K + 132 = 11 K - 11\) \(K = - 143\) Có vẻ như có lỗi trong cách tiếp cận này. Ta thử cách khác. Gọi \(a\) là số kẹo mỗi bạn nhận được. Ta có: \(1 + \frac{x_{1}}{11} = a\) \(2 + \frac{x_{2}}{11} = a\) \(n + \frac{x_{n}}{11} = a\) Từ \(1 + \frac{x_{1}}{11} = a\) suy ra \(x_{1} = 11 \left(\right. a - 1 \left.\right)\) Mà \(x_{1} = K - a\) Vậy \(11 \left(\right. a - 1 \left.\right) = K - a\) hay \(K = 12 a - 11\) Từ \(2 + \frac{x_{2}}{11} = a\) suy ra \(x_{2} = 11 \left(\right. a - 2 \left.\right)\) Mà \(x_{2} = x_{1} - a = 11 \left(\right. a - 1 \left.\right) - a = 10 a - 11\) Vậy \(11 \left(\right. a - 2 \left.\right) = 10 a - 11\) hay \(11 a - 22 = 10 a - 11\) Suy ra \(a = 11\) Vậy mỗi bạn nhận được 11 cái kẹo. \(K = 12 a - 11 = 12 \left(\right. 11 \left.\right) - 11 = 132 - 11 = 121\) Tổng số kẹo là 121. Ta có \(x_{1} = 11 \left(\right. 11 - 1 \left.\right) = 110\) \(x_{2} = 10 \left(\right. 11 \left.\right) - 11 = 99\) Bạn thứ nhất nhận \(1 + \frac{110}{11} = 1 + 10 = 11\) Bạn thứ hai nhận \(2 + \frac{99}{11} = 2 + 9 = 11\) Giả sử bạn thứ \(n\) nhận hết số kẹo còn lại: \(n + \frac{x_{n}}{11} = 11\) \(x_{n} = 11 \left(\right. 11 - n \left.\right)\) Mà \(x_{n} = 0\) (vì bạn cuối cùng nhận hết) Vậy \(11 - n = 0\) hay \(n = 11\) Vậy có 11 đội viên, mỗi đội viên nhận 11 cái kẹo. Kết luận: Phân đội có 11 người và mỗi đội viên được 11 cái kẹo.