Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:
\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.
Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)
Theo đề ta có :
\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)
\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow dpcm\)
1. = [(x^2-2xy+y^2)+2.(x-y).2+4] - 9
= (x-y+2)^2-9
= (x-y+2-3).(x-y+2+3) = (x-y-1).(x-y+5)
2. Có : n^3+n+2 = (n^3+1)+(n+1) = (n+1).(n^2-n+1+1) = (n+1).(n^2-n+2)
Nếu n lẻ => n+1 chia hết cho 2 => n^3+n+2 chia hết cho 2
Mà n^3+n+2 > 2 => n^3+n+2 là hợp sô
Nếu n chẵn thì n^2 chia hết cho 2 => n^2-n+2 chia hết cho 2 => n^3+n+2 chia hết cho 2
Mà n^3+n+2 > 2 = >n^3+n+2 là hợp số
Tk mk nha
Số hạng thứ n của dãy là:n(n+1)/2
Số hạng thứ n-1 của dãy là:(n-1)n/2
Ta có:(n-1)n/2+n(n+1)/2=(n^2-n)/2+(n^2+n)/2
=(2n^2)/2=n^2
Vì n thuộc N nên n^2 là số chính phương
Vậy tổng 2 số hạng liên tiếp của dãy là số chính phương.
Ta xét tổng hai số
(n-1)×n/2 + n×(n+1)/2
=> (n-1)×n+n×(n+1) /2
=>n×[(n-1)×(n+1)] /2
=>n×2n /2
=> 2×n2 /2
=> n2
bài toán được chứng minh
1/ n3+n+2=(n+1)(n2-n+2)
Xet chẵn lẻ của n => chia hết cho 2 => hợp số
online math oi, chọn câu trả lời này đi
Số hạng thứ n là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Tổng 2 số liên tiếp của dãy là \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(2n+2\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(n+1\right).2}{2}\)
\(=\left(n+1\right)^2\)
Do đó tổng 2 số liên tiếp của dãy là số chính phương.
Gọi hai số chính phương liên tiếp đó là k2 và (k+1)2
Ta có:
k2+(k+1)2+k2.(k+1)2
=k2+k2+2k+1+k4+2k3+k2
=k4+2k3+3k2+2k+1
=(k2+k+1)2
=[k(k+1)+1]2 là số chính phương lẻ.
TH1: Tích 2 số chẵn liên tiếp
Giả sử hai số đó là: `2x;2x+2`
Ta có: `2x*(2x+2)=4x(x+1)`
Giả sử: `4x(x+1)=a^2`
`<=>4x^2+4x-a^2=0`
`<=>(2x+1)^2-a^2-1=0`
`<=>(2x-a+1)(2x+a+1)=1=1*1=(-1)*(-1)`
`=>` Không có `x,a` nguyên thỏa mãn
Vậy `4x(x+1)` không thể bằng `a^2=>đpcm`
TH2: Tích của hai số lẻ liên tiếp
Gọi 2 số đó là: `2x+1;2x+3`
`=>(2x+1)(2x+3)=4x^2+8x+3`
Giả sử: `4x^2+8x+3=a^2`
`=>(4x^2+8x+4)-a^2=1`
`<=>(2x+2)^2-a^2=1`
`<=>(2x-a+2)(2x+a+2)=1`
Chứng minh tương tự TH1 ta cũng đến được kết quả không có `a,x` thỏa
Vậy: ...