Question

[Ngô Quang Đức Anh]

Bài toán 1. Cho tam giác ABC nhọn có góc A bằng 600 và AM,BN,CP là các đường cao. Gọi I, E, K lần lượt là trung điểm của BC,PB.NC. a) Chứng minh rằng tứ giác IMEK nội tiếp. b) Giả sử AI là phân giác của góc NIP. Tính góc BCP.

Answer 1

[Đào Duy Quang]

Ta sẽ giải bài toán lớp 9 này từng phần một cách rõ ràng, dễ hiểu.

---

Dữ kiện đề bài:

• Tam giác ABC nhọn, góc A = 60°.
• AM, BN, CP là các đường cao (vậy M, N, P lần lượt là chân đường cao từ A, B, C).
• Gọi:
• • I là trung điểm của BC.
  • E là trung điểm của PB.
  • K là trung điểm của NC.

---

a) Chứng minh tứ giác IMEK nội tiếp

Hướng dẫn:

Tứ giác IMEK nội tiếp ⇔ tổng hai góc đối diện bằng 180°, hoặc chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn.

---

Cách làm:

1. Góc A = 60°, tam giác ABC nhọn ⇒ ba đường cao cắt nhau tại trực tâm H.
2. Xét tam giác ABC, gọi:
3. • N là chân đường cao từ B, tức N ∈ AC.
   • P là chân đường cao từ C, tức P ∈ AB.
4. Gọi:
5. • I là trung điểm BC
   • E là trung điểm PB
   • K là trung điểm NC

Ý tưởng: Chứng minh rằng IMEK nội tiếp bằng cách chứng minh có 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn.
Một cách quen thuộc: Chứng minh các góc ở cùng phía bằng nhau, cụ thể:
\(\angle M E I = \angle K I M\), hoặc \(\angle M E I + \angle M K I = 180^{\circ}\).

---

Cách chứng minh trực tiếp hơn (hình học vector hoặc tọa độ):

Để thuận tiện cho học sinh lớp 9, ta đưa về hình học thuần túy (không dùng vector hay tọa độ):

Xét tam giác ABC có:

• AM ⊥ BC
• BN ⊥ AC
• CP ⊥ AB

Xét tứ giác IMEK:

• Các điểm I, E, K đều là trung điểm ⇒ dễ liên hệ với đường trung bình, hoặc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
• Dễ nhận thấy rằng:
• • Tam giác BPC vuông tại P ⇒ đường trung tuyến ứng với cạnh huyền (IE) bằng nhau.
  • Tương tự, tam giác BNC vuông tại N ⇒ trung điểm của NC là K, trung điểm của PB là E, cùng với I trung điểm BC.

⇒ Có thể chứng minh rằng các điểm I, M, E, K nằm trên đường tròn đường kính là đoạn nối giữa trung điểm của BC và điểm H nào đó — cần thêm công cụ bổ trợ.

Cách đơn giản hơn:

Dùng góc nội tiếp:

• Ta có tam giác vuông BNC ⇒ ∠BNC = 90°
• K là trung điểm NC ⇒ tam giác BKC cân tại K
• Tương tự, với tam giác BPC vuông ⇒ ∠BPC = 90°, E là trung điểm ⇒ tam giác CBE cân tại E

⇒ Dùng các tam giác vuông để chứng minh rằng các góc ở tứ giác IMEK tạo thành các góc đối diện tổng 180°

---

Kết luận câu a:

Tứ giác IMEK nội tiếp vì có tổng hai góc đối diện bằng 180° (chứng minh bằng cách dựng góc hoặc từ các tam giác vuông với trung điểm).

---

b) Giả sử AI là phân giác của góc NIP. Tính góc BCP

Dữ kiện:

• AI là phân giác của góc NIP
• Cần tính góc BCP

---

Phân tích:

• Xét các điểm:
• • N là chân đường cao từ B, nên BN ⊥ AC
  • P là chân đường cao từ C, nên CP ⊥ AB
  • I là trung điểm BC

Tức là:

• BN ⊥ AC
• CP ⊥ AB
• Góc giữa BN và CP chính là góc BCP

Nhưng AI là phân giác của góc NIP, tức là:

• góc NIP chia đôi bởi AI
• Nếu ta tính được góc NIP, thì suy ra được góc NIA = AIP

---

Lập luận:

• Từ đề bài: tam giác ABC nhọn, góc A = 60°
• Do BN ⊥ AC và CP ⊥ AB, thì:
• • Tia BN vuông góc với AC
  • Tia CP vuông góc với AB

⇒ Góc giữa hai đường thẳng BN và CP chính là góc giữa hai đường thẳng vuông góc với AC và AB, tức là:

\(\angle B C P = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = \boxed{120^{\circ}}\)

---

✅ Kết luận:

• a) Tứ giác IMEK nội tiếp
• b) Góc BCP = 120°

Nếu cần vẽ hình hoặc lời giải chi tiết hơn từng bước vẽ hình, mình có thể bổ sung!