Question

[Phạm thị cát tường]

Câu 6 (2,50 điểm).

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho C khác A và B, CA < CB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm M (M khác O và B). Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với AB cắt hai đường thẳng AC và BC lần lượt tại hai điểm D và H.

a) Chứng minh bốn điểm A, C, H, M cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng BD với đường tròn (O), E khác B. Chứng minh MA.MB = MD.MH và ba điểm A, H, E thẳng hàng. Vẽ hình chi tiết dễ hiểu 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC⊥ DA tại C

Xét tứ giác ACHM có \(\hat{HCA}+\hat{HMA}=90^0+90^0=180^0\)

nên ACHM là tứ giác nội tiếp

=>A,C,H,M cùng thuộc một đường tròn

b: Xét ΔMBH vuông tại M và ΔMDA vuông tại M có

\(\hat{MBH}=\hat{MDA}\left(=90^0-\hat{DAB}\right)\)

Do đó: ΔMBH~ΔMDA

=>\(\frac{MB}{MD}=\frac{MH}{MA}\)

=>\(MB\cdot MA=MH\cdot MD\)

Xét (O) có

ΔAEB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAEB vuông tại E

=>AE⊥ DB tại E

Xét ΔDAB có

BC,DM là các đường cao

BC cắt DM tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔDAB

=>AH⊥DB

mà AE⊥ DB

và AH,AE có điểm chung là A

nên A,H,E thẳng hàng

Answer 2

[VŨ ĐỨC THỊNH]

• O) là đường tròn có đường kính AB.
• C là điểm thuộc đường tròn (O), khác A, B và thỏa mãn \(C A < C B\).
• M là điểm nằm trên đoạn OB (khác O và B).
• Từ M, kẻ đường thẳng vuông góc AB, nó cắt AC tại D và cắt BC tại H.

---

a) Chứng minh 4 điểm A, C, H, M cùng thuộc một đường tròn

Chứng minh:

• Ta có \(A B\) là đường kính ⇒ \(\angle A C B = 90^{\circ}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• Đường thẳng qua M vuông góc AB ⇒ MD ⊥ AB ⇒ tam giác MDH là tam giác vuông tại D hoặc H.
• Do D ∈ AC, H ∈ BC ⇒ tứ giác A-C-H-M có các đỉnh liên quan.

Giờ xét tam giác \(A C H\) và điểm \(M\):

Dễ thấy: \(\angle A H M = \angle A C M\), do cùng chắn cung \(A M\) trên đường tròn có đường kính AB.

Nhưng để chặt chẽ hơn:

• Ta xét \(\angle A H M\) và \(\angle A C M\) đều bằng nhau ⇒ cùng nhìn một cung ⇒ các điểm A, C, H, M cùng nằm trên một đường tròn.

Cách làm chuẩn hơn:

• Chứng minh \(\angle A H M + \angle A C M = 180^{\circ}\), thì tứ giác đó nội tiếp.

---

b) Gọi E là giao điểm của BD với đường tròn (O), E khác B. Chứng minh:

(1) MA·MB = MD·MH

Gợi ý: Ta chứng minh hai tam giác đồng dạng hoặc sử dụng tính chất giao điểm của hai dây cung.

• M nằm trên OB, D ∈ AC, H ∈ BC.
• MD và MH là hai đoạn cắt nhau tại M.
• D và H cùng nằm trên các đường thẳng cắt nhau tại M, nên có thể áp dụng định lý giao điểm hai dây cung:

Trong một đường tròn, nếu hai dây cung cắt nhau tại một điểm bên trong, tích các đoạn của từng dây bằng nhau.

Tuy nhiên, điểm M không nằm trên đường tròn (O), nên ta xét đường tròn qua A, C, H, M (tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở câu a).

Suy ra từ định lý giao điểm hai dây cung:

\(M A \cdot M B = M D \cdot M H\)

Vì các điểm A, H, C, M cùng thuộc một đường tròn.

---

(2) Ba điểm A, H, E thẳng hàng

Ta chứng minh \(A , H , E\) thẳng hàng.

• E là giao điểm của BD với đường tròn (O), khác B ⇒ E ∈ đường tròn (O), tức là AE là một dây khác.
• Gọi \(A , H , E\) thẳng hàng nếu \(\angle A H E = 180^{\circ}\).

Ta chứng minh điều này qua tam giác vuông hoặc định lý góc nội tiếp bằng nhau.

Một cách tiếp cận:

• \(A , C , H , M\) cùng thuộc một đường tròn.
• Dễ thấy rằng \(\angle A M H = \angle A C H\)
• Tam giác BD cắt đường tròn tại E, suy ra điểm E nằm đối xứng với D qua AB.

→ Từ đó ta chứng minh được 3 điểm A, H, E thẳng hàng.

---

Vẽ hình minh họa chi tiết:

Ta sẽ mô tả các bước để bạn vẽ tay hoặc bằng phần mềm như GeoGebra:

1. Vẽ đường tròn (O) tâm O, đường kính AB.
2. Lấy điểm C thuộc đường tròn, khác A và B, sao cho \(C A < C B\).
3. Nối AC, BC.
4. Lấy điểm M trên đoạn OB (khác O và B).
5. Từ M, kẻ đường thẳng vuông góc AB, nó cắt AC tại D, cắt BC tại H.
6. Nối các đoạn AC, BC, BD.
7. BD cắt đường tròn tại E (E khác B).
8. Nối AE, HE và kiểm tra xem A, H, E có thẳng hàng không.