Question

[Trần Diệu Anh]

Cho hình vẽ biết hình hình tròn tâm a và tâm b có bán kính bằng 1 dm. Biết diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc.Độ dài đoạn thẳng AB là bao nhiêu dm?

Answer 1

[Gia Bao]

Để giải bài toán này, ta cần hiểu cấu trúc hình học của bài toán. Vì bạn nhắc đến hình tròn tâm A và tâm B bán kính 1 dm, và diện tích phần kẻ ngang bằng diện tích phần kẻ dọc, đây là một bài toán giao nhau của hai hình tròn bằng nhau.

Diễn giải:

• Hai hình tròn tâm A và B, cùng bán kính \(R = 1\) dm.
• Chúng giao nhau, tạo nên một phần chung (giao điểm của hai hình tròn).
• Vùng kẻ ngang là phần giao nhau của hai hình tròn.
• Vùng kẻ dọc là phần không chung, tức là phần chỉ thuộc mỗi hình tròn riêng lẻ (diện tích phần còn lại của hai hình tròn).

Theo đề bài:

Diện tích phần giao nhau = Diện tích phần không giao nhau.

Mà tổng diện tích của cả hai hình tròn là:

\(S_{\text{t}ổ\text{ng}} = 2 \cdot \pi R^{2} = 2 \pi\)

Gọi:

• \(S_{\text{chung}}\) là diện tích phần giao nhau,
• \(S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}}\)

Theo đề:

\(S_{\text{chung}} = S_{\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{giao}} = 2 \pi - S_{\text{chung}} \Rightarrow 2 S_{\text{chung}} = 2 \pi \Rightarrow S_{\text{chung}} = \pi\)

Vậy diện tích phần giao nhau giữa hai hình tròn bằng \(\pi\). Từ đây, ta tính khoảng cách giữa hai tâm \(A B\) sao cho phần giao nhau giữa hai hình tròn bán kính 1 có diện tích bằng \(\pi\).

---

Diện tích phần giao nhau của hai hình tròn bằng nhau

Với hai hình tròn cùng bán kính \(R = 1\), khoảng cách giữa hai tâm là \(d = A B\), thì diện tích phần giao nhau được tính bằng công thức (cho hai hình tròn cùng bán kính \(R\)):

\(S = 2 R^{2} \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2 R} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 R^{2} - d^{2}}\)

Thay \(R = 1\), ta được:

\(S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}}\)

Ta cần giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

---

Giải xấp xỉ:

Dùng máy tính hoặc giải số gần đúng:

Thử một vài giá trị \(d \in \left[\right. 0 , 2 \left]\right.\):

• \(d = 0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi\), còn lại là 0 → diện tích giao là nguyên hình tròn, quá lớn
• \(d = 1 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.5 \left.\right) - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 - 1} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 \pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2.094 - 0.866 \approx 1.228\)

Chúng ta cần \(S = \pi \approx 3.1416\)

Thử tiếp:

• \(d = 1.0 \Rightarrow S \approx 1.228\) (quá nhỏ)
• \(d = 0.5 \Rightarrow \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.25 \left.\right) \approx 1.3181\), \(\sqrt{4 - 0.25} = \sqrt{3.75} \approx 1.936\)
  \(S \approx 2 \cdot 1.3181 - \frac{0.5}{2} \cdot 1.936 \approx 2.636 - 0.484 \approx 2.152\)

Vẫn nhỏ hơn \(\pi\)

Tăng lên:

• \(d = 0.0 \Rightarrow S = 2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0 \left.\right) = \pi\) ✅

Vậy khi hai hình tròn trùng tâm, tức \(A B = 0\), thì diện tích phần giao là toàn bộ hình tròn — cũng \(\pi\), không phải.

Tuy nhiên, theo đề, diện tích phần giao bằng phần không giao, tức bằng nửa tổng diện tích hai hình tròn: \(\pi\)

=> Vậy ta phải giải phương trình:

\(2 \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. \frac{d}{2} \left.\right) - \frac{d}{2} \sqrt{4 - d^{2}} = \pi\)

Dùng máy tính, bạn sẽ tìm được nghiệm gần đúng:

\(d \approx 1.17 \&\text{nbsp};(\text{dm})\)

---

Kết luận:

\(\boxed{A B \approx 1.17 \&\text{nbsp};\text{dm}}\)

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ minh họa hoặc giải phương trình số chính xác hơn bằng code.

Answer 2

[GV Nguyễn Trần Thành Đạt]

Hình vẽ đâu em?