Question

[Nguyễn Duy Long]

Nếu một đoạn thẳng cắt một hình tròn tại hai điểm, hãy chứng minh rằng tích của các khoảng cách từ hai điểm cắt đến các điểm tiếp xúc của tiếp tuyến là hằng số.

Answer 1

[Gia Bao]

Bài toán: Chứng minh tích các đoạn thẳng bằng hằng số

Đề bài:

Cho một hình tròn và một đoạn thẳng cắt hình tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm M nằm ngoài hình tròn, kẻ hai tiếp tuyến chạm hình tròn tại hai điểm C và D. Chứng minh rằng tích của các đoạn MA × MB là hằng số (không phụ thuộc vị trí của đoạn thẳng cắt).

---

Giải thích và chứng minh:

Ý tưởng:

Đây là một hệ quả của định lý về đoạn chắn và tiếp tuyến trong hình học.

• Gọi M là điểm nằm ngoài đường tròn.
• Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với đường tròn, tiếp xúc tại C và D.
• Một đoạn thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B.

Định lý:

Tích hai đoạn thẳng MA × MB bằng bình phương độ dài tiếp tuyến từ M đến đường tròn, tức:

\(M A \times M B = M C^{2} = M D^{2}\)

Chứng minh:

1. Vì MC và MD là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn, nên:

\(M C = M D\)

1. Theo định lý đoạn chắn:

Nếu một điểm M nằm ngoài đường tròn, và một đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B, thì:

\(M A \times M B = \left((độ\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{M}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n})\right)^{2}\)

1. Do đó:

\(M A \times M B = M C^{2}\)

và vì MC là độ dài tiếp tuyến cố định từ điểm M đến đường tròn nên tích MA × MB là hằng số, không phụ thuộc vào vị trí đoạn thẳng cắt.

---

Kết luận:

Tích của hai đoạn thẳng từ điểm M đến hai điểm cắt A và B trên đường tròn là bằng bình phương độ dài tiếp tuyến từ M đến đường tròn, do đó là một hằng số.

---

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa hoặc giải thích chi tiết hơn!