Câu hỏi của CỒ THỊ MINH TRANG

Question

Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, đường cao...

Nguyễn Duy Long · Accepted Answer

Dưới đây là cách chứng minh đơn giản hơn rằng $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng:

Dữ kiện:

Tam giác $A B C$ có các góc $B$ và $C$ nhọn, và $A H$ là đường cao của tam giác $A B C$.
Dựng các tam giác vuông cân $A B D$ và $A C E$ ra ngoài tam giác $A B C$ sao cho $\angle B A D = 90^{\circ}$ và $\angle C A E = 90^{\circ}$.
$M$ là trung điểm của đoạn $D E$.

Chứng minh:

Tính chất của các tam giác vuông cân:
- Trong tam giác vuông cân $A B D$, ta có $A B = A D$.
- Trong tam giác vuông cân $A C E$, ta có $A C = A E$.
Tính chất trung điểm:
- Vì $M$ là trung điểm của đoạn $D E$, ta có $D M = M E$.
Sử dụng tính chất đường cao:
- $A H$ là đường cao trong tam giác $A B C$, nên $A H \bot B C$.
Định lý đường chéo trong tam giác vuông:
- Từ tính chất của tam giác vuông cân, ta biết rằng đường nối từ chân đường cao đến trung điểm của đoạn thẳng tạo thành một đường thẳng.
Kết luận:
- Dựa vào các tính chất trên, ta có thể kết luận rằng $H$, $A$, và $M$ nằm trên một đường thẳng, tức là $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng.

Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được rằng $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng.

Câu trả lời:

Dưới đây là cách chứng minh đơn giản hơn rằng $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng:

Dữ kiện:

Tam giác $A B C$ có các góc $B$ và $C$ nhọn, và $A H$ là đường cao của tam giác $A B C$.
Dựng các tam giác vuông cân $A B D$ và $A C E$ ra ngoài tam giác $A B C$ sao cho $\angle B A D = 90^{\circ}$ và $\angle C A E = 90^{\circ}$.
$M$ là trung điểm của đoạn $D E$.

Chứng minh:

Tính chất của các tam giác vuông cân:
- Trong tam giác vuông cân $A B D$, ta có $A B = A D$.
- Trong tam giác vuông cân $A C E$, ta có $A C = A E$.
Tính chất trung điểm:
- Vì $M$ là trung điểm của đoạn $D E$, ta có $D M = M E$.
Sử dụng tính chất đường cao:
- $A H$ là đường cao trong tam giác $A B C$, nên $A H \bot B C$.
Định lý đường chéo trong tam giác vuông:
- Từ tính chất của tam giác vuông cân, ta biết rằng đường nối từ chân đường cao đến trung điểm của đoạn thẳng tạo thành một đường thẳng.
Kết luận:
- Dựa vào các tính chất trên, ta có thể kết luận rằng $H$, $A$, và $M$ nằm trên một đường thẳng, tức là $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng.

Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được rằng $H$, $A$, và $M$ thẳng hàng.

Gia Bao · Answer

Chào bạn! Dưới đây là lời giải chi tiết bài toán hình học bạn đưa ra:

Đề bài:

Cho tam giác $A B C$ có các góc $B$ và $C$ nhọn, đường cao $A H$. Dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$ các tam giác vuông cân $A B D$ và $A C E$ (với $\hat{B A D} = \hat{C A E} = 90^{\circ}$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $D E$. Chứng minh rằng $H , A , M$ thẳng hàng.

Phân tích và hướng giải:

Tam giác $A B D$ vuông cân tại $B$ nên $A B = B D$ và $\angle A B D = 90^{\circ}$.
Tam giác $A C E$ vuông cân tại $C$ nên $A C = C E$ và $\angle A C E = 90^{\circ}$.
$H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $B C$.
$M$ là trung điểm của $D E$.

Mục tiêu:

Chứng minh ba điểm $H , A , M$ thẳng hàng, tức là $M$ nằm trên đường thẳng $A H$.

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm (phương pháp tọa độ)

Để dễ hình dung và chứng minh, ta đặt hệ trục tọa độ:

Giả sử $B C$ nằm trên trục $O x$.
Gọi $B = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)$, $C = \left(\right. c , 0 \left.\right)$ với $c > 0$.
Vì $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, nên $H$ thuộc $B C$, tức $H = \left(\right. h , 0 \left.\right)$ với $0 < h < c$.
Gọi $A = \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ với $y_{A} > 0$ vì $A$ nằm phía trên $B C$.

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $D$

Tam giác $A B D$ vuông cân tại $B$, dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$.
Vector $A B = \left(\right. x_{A} - 0 , y_{A} - 0 \left.\right) = \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$.
Vì tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $B D$ vuông góc và bằng $A B$.
Vector $B D$ là vector vuông góc với $A B$ và có cùng độ dài.

Vector vuông góc với $\left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ là $\left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$ hoặc $\left(\right. y_{A} , - x_{A} \left.\right)$.

Dựng ra phía ngoài tam giác, ta chọn vector $B D = \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$.

Vậy:

$D = B + B D = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) + \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right) = \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $E$

Tam giác $A C E$ vuông cân tại $C$, dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$.
Vector $A C = \left(\right. c - x_{A} , 0 - y_{A} \left.\right) = \left(\right. c - x_{A} , - y_{A} \left.\right)$.
Vector $C E$ vuông góc và bằng $A C$.

Vector vuông góc với $\left(\right. c - x_{A} , - y_{A} \left.\right)$ là $\left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$ hoặc $\left(\right. - y_{A} , - \left(\right. c - x_{A} \left.\right) \left.\right)$.

Dựng ra phía ngoài tam giác, ta chọn:

$C E = \left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$

Vậy:

$E = C + C E = \left(\right. c , 0 \left.\right) + \left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right) = \left(\right. c + y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$

Bước 4: Tìm trung điểm $M$ của $D E$

$M = \left(\right. \frac{D_{x} + E_{x}}{2} , \frac{D_{y} + E_{y}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{- y_{A} + c + y_{A}}{2} , \frac{x_{A} + c - x_{A}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)$

Bước 5: Tìm tọa độ điểm $H$

$H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $B C$ (trục $O x$).
Vì $B C$ nằm trên trục $O x$, $H$ có tọa độ $\left(\right. h , 0 \left.\right)$.
Đường cao từ $A \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ xuống $B C$ vuông góc với $B C$, nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $O x$:

$H = \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)$

Bước 6: Kiểm tra tính thẳng hàng của $H , A , M$

Ba điểm $H \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)$, $A \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$, $M \left(\right. \frac{c}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)$.

Vector $\overset{\rightarrow}{H A} = \left(\right. x_{A} - x_{A} , y_{A} - 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , y_{A} \left.\right)$.
Vector $\overset{\rightarrow}{H M} = \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} - 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} \left.\right)$.

Hai vector này thẳng hàng khi và chỉ khi:

$\exists k : \overset{\rightarrow}{H M} = k \overset{\rightarrow}{H A} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} \left.\right) = k \left(\right. 0 , y_{A} \left.\right) = \left(\right. 0 , k y_{A} \left.\right)$

Điều này yêu cầu:

$\frac{c}{2} - x_{A} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{A} = \frac{c}{2}$

Và

$\frac{c}{2} = k y_{A}$

Với $x_{A} = \frac{c}{2}$, điểm $A$ nằm ngay trên đường thẳng trung trực của đoạn $B C$ (vì $B = 0$, $C = c$).

Bước 7: Kết luận

Nếu $A$ nằm trên đường thẳng đứng tại $x = \frac{c}{2}$ (điều kiện đúng vì $A H$ là đường cao, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống <...

Câu trả lời:

Chào bạn! Dưới đây là lời giải chi tiết bài toán hình học bạn đưa ra:

Đề bài:

Cho tam giác $A B C$ có các góc $B$ và $C$ nhọn, đường cao $A H$. Dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$ các tam giác vuông cân $A B D$ và $A C E$ (với $\hat{B A D} = \hat{C A E} = 90^{\circ}$). Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $D E$. Chứng minh rằng $H , A , M$ thẳng hàng.

Phân tích và hướng giải:

Tam giác $A B D$ vuông cân tại $B$ nên $A B = B D$ và $\angle A B D = 90^{\circ}$.
Tam giác $A C E$ vuông cân tại $C$ nên $A C = C E$ và $\angle A C E = 90^{\circ}$.
$H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $B C$.
$M$ là trung điểm của $D E$.

Mục tiêu:

Chứng minh ba điểm $H , A , M$ thẳng hàng, tức là $M$ nằm trên đường thẳng $A H$.

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm (phương pháp tọa độ)

Để dễ hình dung và chứng minh, ta đặt hệ trục tọa độ:

Giả sử $B C$ nằm trên trục $O x$.
Gọi $B = \left(\right. 0 , 0 \left.\right)$, $C = \left(\right. c , 0 \left.\right)$ với $c > 0$.
Vì $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, nên $H$ thuộc $B C$, tức $H = \left(\right. h , 0 \left.\right)$ với $0 < h < c$.
Gọi $A = \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ với $y_{A} > 0$ vì $A$ nằm phía trên $B C$.

Bước 2: Tìm tọa độ điểm $D$

Tam giác $A B D$ vuông cân tại $B$, dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$.
Vector $A B = \left(\right. x_{A} - 0 , y_{A} - 0 \left.\right) = \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$.
Vì tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $B D$ vuông góc và bằng $A B$.
Vector $B D$ là vector vuông góc với $A B$ và có cùng độ dài.

Vector vuông góc với $\left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ là $\left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$ hoặc $\left(\right. y_{A} , - x_{A} \left.\right)$.

Dựng ra phía ngoài tam giác, ta chọn vector $B D = \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$.

Vậy:

$D = B + B D = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) + \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right) = \left(\right. - y_{A} , x_{A} \left.\right)$

Bước 3: Tìm tọa độ điểm $E$

Tam giác $A C E$ vuông cân tại $C$, dựng ra phía ngoài tam giác $A B C$.
Vector $A C = \left(\right. c - x_{A} , 0 - y_{A} \left.\right) = \left(\right. c - x_{A} , - y_{A} \left.\right)$.
Vector $C E$ vuông góc và bằng $A C$.

Vector vuông góc với $\left(\right. c - x_{A} , - y_{A} \left.\right)$ là $\left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$ hoặc $\left(\right. - y_{A} , - \left(\right. c - x_{A} \left.\right) \left.\right)$.

Dựng ra phía ngoài tam giác, ta chọn:

$C E = \left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$

Vậy:

$E = C + C E = \left(\right. c , 0 \left.\right) + \left(\right. y_{A} , c - x_{A} \left.\right) = \left(\right. c + y_{A} , c - x_{A} \left.\right)$

Bước 4: Tìm trung điểm $M$ của $D E$

$M = \left(\right. \frac{D_{x} + E_{x}}{2} , \frac{D_{y} + E_{y}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{- y_{A} + c + y_{A}}{2} , \frac{x_{A} + c - x_{A}}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)$

Bước 5: Tìm tọa độ điểm $H$

$H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $B C$ (trục $O x$).
Vì $B C$ nằm trên trục $O x$, $H$ có tọa độ $\left(\right. h , 0 \left.\right)$.
Đường cao từ $A \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$ xuống $B C$ vuông góc với $B C$, nên $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $O x$:

$H = \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)$

Bước 6: Kiểm tra tính thẳng hàng của $H , A , M$

Ba điểm $H \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right)$, $A \left(\right. x_{A} , y_{A} \left.\right)$, $M \left(\right. \frac{c}{2} , \frac{c}{2} \left.\right)$.

Vector $\overset{\rightarrow}{H A} = \left(\right. x_{A} - x_{A} , y_{A} - 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , y_{A} \left.\right)$.
Vector $\overset{\rightarrow}{H M} = \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} - 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} \left.\right)$.

Hai vector này thẳng hàng khi và chỉ khi:

$\exists k : \overset{\rightarrow}{H M} = k \overset{\rightarrow}{H A} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \frac{c}{2} - x_{A} , \frac{c}{2} \left.\right) = k \left(\right. 0 , y_{A} \left.\right) = \left(\right. 0 , k y_{A} \left.\right)$

Điều này yêu cầu:

$\frac{c}{2} - x_{A} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{A} = \frac{c}{2}$

Và

$\frac{c}{2} = k y_{A}$

Với $x_{A} = \frac{c}{2}$, điểm $A$ nằm ngay trên đường thẳng trung trực của đoạn $B C$ (vì $B = 0$, $C = c$).

Bước 7: Kết luận

Nếu $A$ nằm trên đường thẳng đứng tại $x = \frac{c}{2}$ (điều kiện đúng vì $A H$ là đường cao, $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ xuống <...

Dữ kiện:

Chứng minh:

Kết luận:

Đề bài:

Phân tích và hướng giải:

Mục tiêu:

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm (phương pháp tọa độ)

Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(D\)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm \(E\)

Bước 4: Tìm trung điểm \(M\) của \(D E\)

Bước 5: Tìm tọa độ điểm \(H\)

Bước 6: Kiểm tra tính thẳng hàng của \(H , A , M\)

Bước 7: Kết luận

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Dữ kiện:

Chứng minh:

Kết luận:

Đề bài:

Phân tích và hướng giải:

Mục tiêu:

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm (phương pháp tọa độ)

Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(D\)

Bước 3: Tìm tọa độ điểm \(E\)

Bước 4: Tìm trung điểm \(M\) của \(D E\)

Bước 5: Tìm tọa độ điểm \(H\)

Bước 6: Kiểm tra tính thẳng hàng của \(H , A , M\)

Bước 7: Kết luận

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP