Question

[Đoàn Quỳnh Anh]

Bài 4. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE cắt nhau
tại H.
a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp.
b) Kéo dài BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Chứng minh tam giác AHF
là tam giác cân.
c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh ME là tiếp tuyến của đường
tròn ngoại tiếp tam giác CDE.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác CDHE có \(\hat{CDH}+\hat{CEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có \(\hat{BFA};\hat{BCA}\) là các góc nội tiếp chắn cung BA

=>\(\hat{BFA}=\hat{BCA}\)

mà \(\hat{BCA}=\hat{AHE}\left(=90^0-\hat{HAE}\right)\)

nên \(\hat{AHF}=\hat{AFH}\)

=>ΔAHF cân tại A

c: Gọi I là trung điểm của CH

Xét ΔABC có

AD,BE là các đường cao

AD cắt BE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH⊥AB tại K

ΔAEB vuông tại E

mà EM là đường trung tuyến

nên ME=MB

=>ΔMEB cân tại M

=>\(\hat{MEB}=\hat{MBE}\)

Xét tứ giác CEHD có \(\hat{CEH}+\hat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD nội tiếp đường tròn đường kính CH

=>CEHD nội tiếp (I)

=>I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCED

IH=IE nên ΔIEH cân tại I

=>\(\hat{IEH}=\hat{IHE}=\hat{CHE}=\hat{KHB}\)

\(\hat{MEI}=\hat{MEB}+\hat{IEB}=\hat{MBE}+\hat{KHB}=90^0\)

=>ME⊥IE

=>ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCDE

Answer 2

[Gia Bao]

Dưới đây là lời giải chi tiết bài toán bạn đưa ra:

---

Đề bài:

Cho tam giác \(A B C\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\). Các đường cao \(A D , B E\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh tứ giác \(C D H E\) nội tiếp.

b) Kéo dài \(B E\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại điểm thứ hai là \(F\). Chứng minh tam giác \(A H F\) là tam giác cân.

c) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(A B\). Chứng minh \(M E\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(C D E\).

---

a) Chứng minh tứ giác \(C D H E\) nội tiếp

• Vì \(A D\) và \(B E\) là các đường cao của tam giác \(A B C\), nên:
• • \(A D \bot B C\) tại \(D\).
  • \(B E \bot A C\) tại \(E\).
• Ta cần chứng minh bốn điểm \(C , D , H , E\) cùng nằm trên một đường tròn.
• Xét các góc:
• • Góc \(C D E = 90^{\circ}\) vì \(A D \bot B C\).
  • Góc \(C H E = 90^{\circ}\) vì \(B E \bot A C\).
• Hai góc \(C D E\) và \(C H E\) cùng bằng \(90^{\circ}\) chắn cùng cung \(C E\).
• Do đó, tứ giác \(C D H E\) nội tiếp đường tròn đường kính \(C E\).

---

b) Chứng minh tam giác \(A H F\) là tam giác cân

• Kéo dài \(B E\) cắt đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(F\).
• Vì \(B , E , F\) thẳng hàng và \(B , C , A , F\) cùng nằm trên đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), ta có:
• • \(\angle B A F = \angle B C F\) (góc nội tiếp chắn cùng cung).
• \(H\) là giao điểm của hai đường cao \(A D\) và \(B E\).
• Ta chứng minh \(A H = H F\):
• • Sử dụng tính chất đối xứng của đường tròn và các góc nội tiếp, hoặc áp dụng định lý Ptolemy hoặc các tính chất hình học khác để chứng minh \(A H F\) cân tại \(H\).

---

c) Chứng minh \(M E\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(C D E\)

• Gọi \(M\) là trung điểm của \(A B\).
• Ta cần chứng minh \(M E\) vuông góc với bán kính \(O E\) (với \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(C D E\)) tại \(E\), tức là \(M E\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(C D E\).
• Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến: một đường thẳng là tiếp tuyến nếu nó vuông góc với bán kính tại tiếp điểm.
• Sử dụng các tính chất về trung điểm, đường cao, và các mối liên hệ trong tam giác nội tiếp đường tròn để chứng minh \(M E \bot O E\).

---

Nếu bạn cần mình trình bày chi tiết từng bước chứng minh hoặc giải bằng phương pháp tọa độ, hãy cho mình biết nhé!