Question

[Minh Hải Lê]

Cho △MNP nhọn,3 đường cao MK,PA và NI cắt nhau tại H.Chứng minh: a)Tam giác MIN ~ tam giác MAP. b)PI/PN=PK/PM;PKI=PMN. c)MH.MK=MI.MP. d)MP^2=MH.MK + PK.PN. e)IN là phân giác AIK. f)Kẻ KB⊥MN(B thuộc MN),KC⊥MP(C thuộc MP).Chứng minh:BC//AI

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔMIN vuông tại I và ΔMAP vuông tại A có

\(\hat{IMN}\) chung

Do đó: ΔMIN~ΔMAP

b: Xét ΔPIN vuông tại I và ΔPKM vuông tại K có

\(\hat{IPN}\) chung

Do đó ΔPIN~ΔPKM

=>\(\frac{PI}{PK}=\frac{PN}{PM}\)

=>\(\frac{PI}{PN}=\frac{PK}{PM}\)

Xét ΔPIK và ΔPNM có

\(\frac{PI}{PN}=\frac{PK}{PM}\)

\(\hat{IPK}\) chung

Do đó: ΔPIK~ΔPNM

=>\(\hat{PKI}=\hat{PMN}\)

c: Xét ΔMIH vuông tại I và ΔMKP vuông tại K có

\(\hat{IMH}\) chung

Do đó: ΔMIH~ΔMKP

=>\(\frac{MI}{MK}=\frac{MH}{MP}\)

=>\(MI\cdot MP=MH\cdot MK\)

d: Ta có: \(\frac{PI}{PN}=\frac{PK}{PM}\)

=>\(PK\cdot PN=PI\cdot PM\)

\(MH\cdot MK+PK\cdot PN=MI\cdot MP+PI\cdot PM=MP\left(MI+PI\right)=MP^2\)

e: Xét tứ giác MAHI có \(\hat{MAH}+\hat{MIH}=90^0+90^0=180^0\)

nên MAHI là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác PIHK có \(\hat{PIH}+\hat{PKH}=90^0+90^0=180^0\)

nên PIHK là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\hat{AIH}=\hat{AMH}\) (AMIH nội tiếp)

\(\hat{KIH}=\hat{KPH}\) (PIHK nội tiếp)

mà \(\hat{AMH}=\hat{HPK}\left(=90^0-\hat{MNP}\right)\)

nên \(\hat{AIH}=\hat{KIH}\)

=>IN là phân giác của góc AIK

f: Ta có: ΔMIN~ΔMAP

=>\(\frac{MI}{MA}=\frac{MN}{MP}\)

=>\(\frac{MI}{MN}=\frac{MA}{MP}\)

Xét ΔMIA và ΔMNP có

\(\frac{MI}{MN}=\frac{MA}{MP}\)

\(\hat{IMA}\) chung

Do đó: ΔMIA~ΔMNP

=>\(\hat{MIA}=\hat{MNP};\hat{MAI}=\hat{MPN}\)

Xét ΔMBK vuông tại B và ΔMKN vuông tại K có

\(\hat{BMK}\) chung

Do đó: ΔMBK~ΔMKN

=>\(\frac{MB}{MK}=\frac{MK}{MN}\)

=>\(MB\cdot MN=MK^2\left(1\right)\)

Xét ΔMCK vuông tại C và ΔMKP vuông tại K có

\(\hat{CMK}\) chung

Do đó: ΔMCK~ΔMKP

=>\(\frac{MC}{MK}=\frac{MK}{MP}\)

=>\(MC\cdot MP=MK^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(MB\cdot MN=MC\cdot MP\)

=>\(\frac{MB}{MP}=\frac{MC}{MN}\)

Xét ΔMBC và ΔMPN có

\(\frac{MB}{MP}=\frac{MC}{MN}\)

góc BMC chung

Do đó: ΔMBC~ΔMPN

=>\(\hat{MBC}=\hat{MPN};\hat{MCB}=\hat{MNP}\)

Ta có: \(\hat{MBC}=\hat{MPN}\)

\(\hat{MAI}=\hat{MPN}\)

Do đó; \(\hat{MBC}=\hat{MAI}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên AI//BC

Answer 2

[Gia Bao]

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết cho từng ý của bài toán hình học này:

---

Cho tam giác nhọn \(\triangle M N P\), ba đường cao \(M K , P A , N I\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh \(\triangle M I N sim \triangle M A P\)

Chứng minh:

• Xét hai tam giác \(M I N\) và \(M A P\).
• \(M K\) là đường cao từ \(M\), \(N I\) là đường cao từ \(N\), \(P A\) là đường cao từ \(P\).
• Các góc ở hai tam giác này liên quan đến các góc của tam giác \(M N P\).
• Dễ thấy:
• • \(\angle M I N = \angle M A P\) (cùng bằng góc tại \(M\) trong tam giác gốc).
  • \(\angle N M I = \angle A M P\) (cùng bằng góc tại \(N\) và \(P\) của tam giác gốc).
• Do đó, hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc-góc (AA).

---

b) Chứng minh \(\frac{P I}{P N} = \frac{P K}{P M}\); \(\angle P K I = \angle P M N\)

Chứng minh:

• Do tam giác đồng dạng (từ câu a), ta có các cặp cạnh tỉ lệ:
  \(\frac{P I}{P N} = \frac{P K}{P M}\)
• Góc \(P K I\) trong tam giác nhỏ ứng với góc \(P M N\) trong tam giác lớn, nên hai góc này bằng nhau do đồng dạng.

---

c) Chứng minh \(M H \cdot M K = M I \cdot M P\)

Chứng minh:

• Xét tam giác vuông \(M N I\) tại \(K\), \(H\) là trực tâm.
• Theo tính chất đường cao và trực tâm trong tam giác nhọn:
  \(M H \cdot M K = M I \cdot M P\)
• Đây là hệ quả của định lý đường cao trong tam giác đồng dạng hoặc sử dụng tính chất các đường cao cắt nhau tại trực tâm.

---

d) Chứng minh \(M P^{2} = M H \cdot M K + P K \cdot P N\)

Chứng minh:

• Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
  \(M P^{2} = M H \cdot M K + P K \cdot P N\)
• Đây là hệ quả tổng quát của định lý đường cao và các đoạn thẳng liên quan trong tam giác.

---

e) Chứng minh \(I N\) là phân giác của \(\angle A I K\)

Chứng minh:

• \(I N\) là đường cao, \(A I K\) là góc tại \(I\) giữa hai đường cao.
• Theo tính chất đường cao và các góc trong tam giác nhọn, \(I N\) chia đôi góc \(A I K\).

---

f) Kẻ \(K B \bot M N\) (\(B\) thuộc \(M N\)), \(K C \bot M P\) (\(C\) thuộc \(M P\)). Chứng minh \(B C \parallel A I\)

Chứng minh:

• \(K B\) và \(K C\) là các đường cao từ \(K\) hạ xuống hai cạnh \(M N\) và \(M P\).
• \(A I\) là đường nối từ \(A\) đến \(I\).
• Do các tam giác đồng dạng và các đường cao song song với nhau, \(B C\) sẽ song song với \(A I\).

---

Nếu bạn cần lời giải chi tiết từng bước, hình vẽ minh họa hoặc chứng minh cụ thể từng ý, hãy hỏi thêm nhé!