Question

[phong nguyen]

hãy chứng minh Nghịch lý Achilles và Rùa là sai

Answer 1

[Trương Nhật Minh]

sgk ghi thế thì sai cx thành đúng

Answer 2

[Gia Bao]

Dưới đây là lời giải thích và chứng minh vì sao Nghịch lý Achilles và Rùa là sai:

---

Nghịch lý Achilles và Rùa là gì?

Nghịch lý này do triết gia Zeno đưa ra, kể rằng:
Achilles (người chạy nhanh) đua với một con rùa (chạy chậm hơn). Rùa xuất phát trước một đoạn. Khi Achilles đến vị trí rùa xuất phát, thì rùa đã đi được một đoạn nhỏ nữa. Khi Achilles đến vị trí đó, rùa lại đi thêm một đoạn nhỏ nữa, và cứ thế, Achilles mãi mãi không đuổi kịp rùa.

---

Chứng minh nghịch lý này là sai

1. Phân tích toán học dãy vô hạn

• Giả sử rùa xuất phát trước Achilles một đoạn \(d\).
• Vận tốc Achilles là \(v_{A}\), vận tốc rùa là \(v_{R}\) với \(v_{A} > v_{R}\).
• Thời gian Achilles đến vị trí xuất phát của rùa: \(t_{1} = \frac{d}{v_{A}}\).
• Trong thời gian đó, rùa đi thêm \(d_{1} = v_{R} \cdot t_{1}\).
• Lặp lại quá trình này, mỗi lần rùa đi thêm một quãng đường nhỏ hơn trước.

Tổng quãng đường Achilles phải chạy để bắt kịp rùa là một tổng vô hạn giảm dần:

\(d + d_{1} + d_{2} + d_{3} + . . .\)

Tổng thời gian là:

\(t = t_{1} + t_{2} + t_{3} + . . .\)

2. Tổng vô hạn này là hữu hạn

• Thực tế, tổng này là một cấp số nhân có tổng hữu hạn, vì mỗi lần rùa đi thêm, quãng đường nhỏ dần theo tỉ lệ \(\frac{v_{R}}{v_{A}} < 1\).
• Tổng thời gian Achilles đuổi kịp rùa là:

\(T = \frac{d}{v_{A} - v_{R}}\)

• Sau thời gian này, Achilles sẽ đuổi kịp và vượt qua rùa.

3. Kết luận thực tế

• Trong thực tế, Achilles chắc chắn sẽ đuổi kịp rùa vì tổng các khoảng thời gian đó là hữu hạn, không phải vô hạn như nghịch lý tưởng tượng.
• Nghịch lý này chỉ là do hiểu sai về tổng của dãy số vô hạn giảm dần.

---

Tóm lại

Nghịch lý Achilles và Rùa là sai vì nó nhầm lẫn giữa tổng các đoạn đường (hoặc thời gian) vô hạn với việc tổng đó là vô cùng lớn. Thực ra, tổng đó là hữu hạn, nên Achilles hoàn toàn có thể đuổi kịp và vượt qua rùa.

---

Kết luận:
Nghịch lý này chỉ là một trò chơi logic của toán học thời cổ, còn thực tế toán học hiện đại đã chứng minh nó là sai.

Nếu em cần ví dụ số cụ thể, cô sẽ giải chi tiết hơn nhé!