Question

[Phan Lê Tuệ Anh]

cho a,b,c là các số thực thỏa mẵn điều kiện \(\frac{b-4c}{a}\ge\frac14\) . chứng minh rằng pt \(ax^2+bx+c=0\) có ít nhất một nghiệm âm

Answer 1

[Trần Tuệ Mỹ]

a được bất đẳng thức:

\(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\)

Và cần chứng minh phương trình bậc hai:

\(& a x^{2} + b x + c = 0 & & (\text{1})\)

có ít nhất một nghiệm âm.

---

✅ Bước 1: Phân tích điều kiện

Bất đẳng thức:

\(& \frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} \Rightarrow 4 \left(\right. b - 4 c \left.\right) \geq a & & (\text{2})\)

---

✅ Bước 2: Xét nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm thực \(x_{1} , x_{2}\). Ta sẽ chứng minh ít nhất một trong hai nghiệm âm, tức là:

\(\text{t} \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ạ\text{i}\&\text{nbsp}; x_{i} < 0\)

Áp dụng định lý Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm thực \(x_{1} , x_{2}\), thì:

\(x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} , x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}\)

Ta xét hai khả năng:

---

🔹 Trường hợp 1: a > 0

• Nếu cả hai nghiệm đều dương, thì:
  \(x_{1} > 0 , x_{2} > 0 \Rightarrow x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0\)
  và
  \(x_{1} x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} > 0 \Rightarrow c > 0\)
• Xét lại điều kiện ban đầu:
  \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} \Rightarrow b - 4 c \geq \frac{a}{4}\)
  Nếu \(b < 0\) và \(c > 0\), thì \(b - 4 c < 0\), mà điều kiện lại yêu cầu \(b - 4 c \geq \frac{a}{4} > 0\) (vì \(a > 0\)) → mâu thuẫn
  ⇒ Không thể có cả hai nghiệm dương. Vậy ít nhất một nghiệm âm.

---

🔹 Trường hợp 2: a < 0

Lập luận tương tự:

• Nếu \(a < 0\), giả sử cả hai nghiệm dương:
• • \(x_{1} + x_{2} > 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b > 0\)
  • \(x_{1} x_{2} > 0 \Rightarrow \frac{c}{a} > 0 \Rightarrow c < 0\)
• Khi đó:
  \(b - 4 c > 0 - 4 \cdot \left(\right. - \mid c \mid \left.\right) = b + 4 \mid c \mid > 0 \Rightarrow \frac{b - 4 c}{a} < 0 \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; a < 0 \left.\right)\)
  Điều này mâu thuẫn với điều kiện \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4} > 0\)

⇒ Không thể có cả hai nghiệm dương ⇒ Ít nhất một nghiệm âm

---

✅ Trường hợp phương trình có một nghiệm kép

Nếu phương trình có nghiệm kép tại \(x = - \frac{b}{2 a}\), ta cũng xét dấu:

• Nếu \(- \frac{b}{2 a} < 0\) thì ta xong
• Nếu \(- \frac{b}{2 a} \geq 0\) ⇒ \(\frac{b}{a} \leq 0\)

Suy ra \(b\) và \(a\) trái dấu.

Lúc đó xét lại điều kiện:

\(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\)

Kết hợp với \(b / a \leq 0\), ta vẫn rơi vào mâu thuẫn về dấu như các trường hợp trên ⇒ nghiệm không thể không âm.

✅ Kết luận:

Trong mọi trường hợp thỏa mãn \(\frac{b - 4 c}{a} \geq \frac{1}{4}\), phương trình bậc hai \(a x^{2} + b x + c = 0\) có ít nhất một nghiệm âm.

\(\boxed{Đ\text{pcm}.}\)