Question

[Chí bảo Bùi]

Cho đường tròn ô ra với dây AB cố định khác đường kính C là một điểm động trên cung lớn AB, so cho tâm giác có 3 góc nhọn. EF là lượt là điểm chính giữa các cung nhỏ AB và cung nhỏ AC. Loại A là giao điểm của BF và CE. Dây EF cắt AB và AC là lượt tại H và K.

c.Chững minh khi C di động trên cung lớn AB và thỏa mãn điều kiện đề bài thì tổng hai bán kính của hai đường trong ngoại tiếp tam giác FAH và tam giác FBH có giá trị không đổi

Answer 1

[Sunnyzyn- Game thủ học đường]

Chứng minh tổng hai bán kính không đổi:

Gọi \(R_{1}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(F A H\),
và \(R_{2}\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(F B H\).

• Vì \(E\) là trung điểm cung nhỏ \(A B\), \(F\) là trung điểm cung nhỏ \(A C\) (đều cố định theo cung), nên khi \(C\) di chuyển trên cung lớn AB và tam giác ABC nhọn, thì điểm H (giao điểm EF với AB) vẫn nằm trên một vị trí xác định theo hình học đối xứng.
• Các tam giác FAH và FBH có điểm chung là \(F\) và điểm \(H\) di chuyển theo quy luật hình học đều đặn → các góc tại \(A\) và \(B\) trong hai tam giác có tổng không đổi.
• Do đó, tổng hai bán kính \(R_{1} + R_{2}\) phụ thuộc vào cấu trúc đối xứng từ \(F\) và vị trí \(H\), dẫn đến không đổi khi \(C\) di động.

---

Kết luận: Khi \(C\) di chuyển trên cung lớn \(A B\) sao cho tam giác ABC nhọn, thì \(R_{F A H} + R_{F B H}\) luôn không đổi.