Question

[Long Trịnh]

mọi người giúp mình với

chứng minh điểm giao nhau của hai cạnh hình thang thẳng hàng với trung điểm của hai đáy

Answer 1

[Gia Bao]

Dưới đây là một cách chứng minh rất trực quan bằng tọa độ.

---

1. Thực hiện đặt hệ trục

Giả sử \(A B C D\) là hình thang với \(A B \parallel C D\). Ta đặt

\(A = \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B = \left(\right. b , 0 \left.\right) ,\) \(D = \left(\right. 0 , 1 \left.\right) , C = \left(\right. c , 1 \left.\right) ,\)

với \(b \neq c\) tùy ý.

• Khi đó \(A B\) nằm ngang ở \(y = 0\), \(C D\) nằm ngang ở \(y = 1\).
• Trung điểm \(M\) của \(A B\) là

\(M \left(\right. \frac{b}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)

• Trung điểm \(N\) của \(C D\) là

\(N \left(\right. \frac{c}{2} , \textrm{ } 1 \left.\right) .\)

---

2. Tìm tọa độ giao điểm \(E\) của hai cạnh bên

Cạnh bên \(A D\) là đường thẳng qua \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\) và \(D \left(\right. 0 , 1 \left.\right)\), tức phương trình

\(x = 0.\)

Cạnh bên \(B C\) là đường thẳng đi qua \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\) và \(C \left(\right. c , 1 \left.\right)\).
– Phương trình tham số của \(B C\):

\(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. b , 0 \left.\right) + t \left(\right. c - b , \textrm{ }\textrm{ } 1 \left.\right) \left(\right. t \in \mathbb{R} \left.\right) .\)

Giao với \(x = 0\) khi

\(b + t \left(\right. c - b \left.\right) = 0 \Longrightarrow t = - \frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} .\)

Vậy

\(E = \left(\right. x_{E} , y_{E} \left.\right) = \left(\right. 0 , \textrm{ }\textrm{ } 0 + t \cdot 1 \left.\right) = \left(\right. 0 , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \left.\right) .\)

---

3. Chứng minh \(E , M , N\) thẳng hàng

Ta chỉ việc so sánh hệ số góc (hệ số “\(\Delta y / \Delta x\)”) của hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{E M}\) và \(\overset{\rightarrow}{E N}\).

1. Vectơ \(\overset{\rightarrow}{E M}\):

\(M - \textrm{ }\textrm{ } E = \left(\right. \frac{b}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } - \frac{b}{c - b} \left.\right) = \left(\right. \frac{b}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \left.\right) .\)

Hệ số góc

\(m_{E M} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }}}{\frac{b}{2}} = \frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } \times \textrm{ }\textrm{ } \frac{2}{b} = \frac{2}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \textrm{ } .\)

1. Vectơ \(\overset{\rightarrow}{E N}\):

\(N - \textrm{ }\textrm{ } E = \left(\right. \frac{c}{2} , \textrm{ } 1 \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } - \frac{b}{c - b} \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} , \textrm{ }\textrm{ } 1 + \frac{b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{c - b + b}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \left.\right) = \left(\right. \frac{c}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{c}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \left.\right) .\)

Hệ số góc

\(m_{E N} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\frac{c}{\textrm{ } c - b \textrm{ }}}{\frac{c}{2}} = \frac{c}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } \times \textrm{ }\textrm{ } \frac{2}{c} = \frac{2}{\textrm{ } c - b \textrm{ }} \textrm{ } .\)

---

Kết luận.
Vì

\(m_{E M} = m_{E N} = \frac{2}{c - b} ,\)

hai vectơ \(\overset{\rightarrow}{E M}\) và \(\overset{\rightarrow}{E N}\) có cùng hệ số góc, nên điểm \(E\), \(M\) và \(N\) thẳng hàng.

\(\boxed{E , \textrm{ } M , \textrm{ } N \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}.}\)