Question

[Quang Anh Mạnh Cường]

mấy bạn ơi, dạng bài kiểu này làm sao v :/

---

Người ta tô màu mỗi ô của bảng hình vuông \(4 \times 4\) bằng một trong hai màu đen hoặc trắng thỏa mãn các điều kiện sau:
i) Số ô đen trên các hàng đều bằng nhau.
ii) Số ô đen trên các cột đôi một khác nhau.

a) Tính số ô đen trên mỗi hàng.
b) Hai ô kề nhau trên một hàng hoặc một cột được gọi là “cặp tốt” nếu chúng được tô bằng hai màu khác nhau. Hỏi tổng số các “cặp tốt” tính theo tất cả các cột có thể lớn nhất là bao nhiêu? Hỏi tương tự cho các “cặp tốt” tính theo tất cả các hàng.

Answer 1

[Gia Bao]

Dưới đây là hướng dẫn làm bài toán tô màu bảng 4×4 với các điều kiện đã cho:

---

Bài toán tóm tắt

• Bảng 4×4, mỗi ô tô màu đen hoặc trắng.
• (i) Số ô đen trên mỗi hàng đều bằng nhau.
• (ii) Số ô đen trên mỗi cột đều khác nhau (đôi một khác nhau).

---

a) Tính số ô đen trên mỗi hàng

• Gọi số ô đen trên mỗi hàng là \(k\).
• Vì có 4 hàng và mỗi hàng có \(k\) ô đen, tổng số ô đen trong bảng là \(4 k\).
• Ở mỗi cột, số ô đen phải khác nhau, tức là 4 cột có 4 số đen khác nhau.
• Vì mỗi cột có từ 0 đến 4 ô đen, và 4 số khác nhau trong 4 cột thì phải là 0,1,2,3 hoặc 1,2,3,4.
• Tổng số ô đen theo cột là tổng 4 số đen ở các cột, tức là:
• • Nếu là 0,1,2,3 thì tổng là 6.
  • Nếu là 1,2,3,4 thì tổng là 10.
• Tổng số ô đen tính theo hàng là \(4 k\), tính theo cột là 6 hoặc 10.
• Do đó \(4 k = 6\) hoặc \(4 k = 10\) → \(k = 1.5\) hoặc \(k = 2.5\), đều không phải số nguyên.
• Vậy chỉ có thể là \(k = 2\) vì số ô đen trên hàng phải là số nguyên, và tổng số ô đen là \(4 \times 2 = 8\).
• Kiểm tra tổng số ô đen theo cột: 4 số khác nhau từ 0 đến 4 có tổng bằng 8 là: 1,2,3,2 → không được vì có số 2 lặp lại.
• Các số khác nhau có thể là 0,1,3,4 → tổng 8, đúng.
• Vậy số ô đen trên mỗi hàng là 2.

---

b) Tính tổng số “cặp tốt” theo cột và theo hàng

• “Cặp tốt” là hai ô kề nhau trên cùng hàng hoặc cùng cột có màu khác nhau.
• Tính theo cột:
• • Mỗi cột có 4 ô, có 3 cặp kề nhau theo chiều dọc.
  • Tổng số cặp theo tất cả cột là \(4 \times 3 = 12\).
  • Để có tổng “cặp tốt” lớn nhất, màu các ô phải xen kẽ nhau, ví dụ: đen - trắng - đen - trắng hoặc trắng - đen - trắng - đen.
  • Với 4 ô, số cặp tốt tối đa theo cột là 3 (tất cả các cặp đều khác màu).
  • Tổng số cặp tốt theo tất cả các cột là \(4 \times 3 = 12\).
• Tính theo hàng:
• • Mỗi hàng có 4 ô, có 3 cặp kề nhau theo chiều ngang.
  • Tổng số cặp theo tất cả hàng là \(4 \times 3 = 12\).
  • Tương tự, để tối đa số cặp tốt theo hàng, màu các ô trong hàng phải xen kẽ nhau.
  • Tuy nhiên, theo điều kiện (i), mỗi hàng có đúng 2 ô đen và 2 ô trắng.
  • Cách sắp xếp để có nhiều cặp tốt nhất là xen kẽ: đen - trắng - đen - trắng hoặc trắng - đen - trắng - đen.
  • Số cặp tốt tối đa theo hàng mỗi hàng là 3.
  • Tổng số cặp tốt theo tất cả hàng là \(4 \times 3 = 12\).

---

Kết luận:

• a) Số ô đen trên mỗi hàng là 2.
• b) Tổng số “cặp tốt” theo tất cả các cột có thể lớn nhất là 12.
• Tổng số “cặp tốt” theo tất cả các hàng có thể lớn nhất là 12.

---

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn viết chi tiết hơn hoặc giải thích thêm!