Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)
Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH
Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)
ΔSAB và ΔSAC vuông tại A
Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)
⇒ SK . SB = SH . SC
⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)
⇒ HK ⊥ SB
Mà AK⊥ SB
⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 450 (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))
⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)
Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB2 - SC2 = BC2 = 3a2
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)
Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)
Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)
Nhận xét
Gọi (α) là mặt phẳng qua SM và song song với AB.
Ta có BC // (α) và (ABC) là mặt phẳng chứa BC nên (ABC) sẽ cắt (α) theo giao tuyến d đi qua M và song song với BC, d cắt AC tại N.
Ta có (α) chính là mặt phẳng (SMN). Vì M là trung điểm AB nên N là trung điểm AC.
+ Xác định khoảng cách.
Qua N kẻ đường thẳng d’ song song với AB.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua SN và d’.
Ta có: AB // (P).
Khi đó: d(AB, SN) = d(A, (P)).
Dựng AD ⊥ d’, ta có AB // (SDN). Kẻ AH vuông góc với SD, ta có AH ⊥ (SDN) nên:
d(AB, SN) = d(A, (SND)) = AH.
Trong tam giác SAD, ta có 
Trong tam giác SAB, ta có S A = A B . tan 60 o = 2 a 3 và AD = MN = BC/2 = a.
Thế vào (1), ta được
Gọi K là trung điểm của SA
=>KM//SC
=>SC//(KMB)
d(SC;BM)=d(S;(KBM))=SK/SA*d(A;(KBM))=d(A;(KBM))
=>ΔABC đều
=>BM vuông góc AC
=>BM vuông góc (SAC)
Kẻ AQ vuông góc KM
=>AQ vuông góc (KMB)
=>d(A;(KMB))=AQ
\(SC=\sqrt{9a^2+4a^2}=a\sqrt{13}\)
KM=1/2SC=a*căn 3/2
=>\(AQ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)
=>d(BM;SC)=3*căn 13/13
a.
Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp SB\)
b.
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)
c.
Từ M kẻ \(MH\perp SC\) (H thuộc SC)
\(\Rightarrow H\in\left(\alpha\right)\Rightarrow\) thiết diện là tam giác BMH
Do \(\left\{{}\begin{matrix}BM\perp\left(SAC\right)\\MH\in\left(SAC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BM\perp MH\Rightarrow\Delta BMH\) vuông tại M
Trong tam giác vuông ABC: \(BM=\dfrac{1}{2}AC=a\) (trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Hai tam giác vuông CHM và CAS đồng dạng (chung góc C)
\(\Rightarrow\dfrac{MH}{SA}=\dfrac{CM}{SC}\Rightarrow MH=\dfrac{SA.CM}{SC}=\dfrac{SA.\dfrac{AC}{2}}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)
\(\Rightarrow S_{BMH}=\dfrac{1}{2}BM.MH=\dfrac{a^2\sqrt{5}}{10}\)
Giải. Chọn hệ tọa độ 3 chiều như sau để tính nhanh:
\(B = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) .\)
\(C = \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right) , A = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right) .\)
\(S = \left(\right. 0 , 2 a , 2 a \sqrt{3} \left.\right) .\)
\(M \left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{2 a + 0}{2} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. a , a , 0 \left.\right) .\)
a) Chứng minh \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. S B C \left.\right)\)
Nhưng
\(\overset{\rightarrow}{S A} = \left(\right. 0 , 2 a , 2 a \sqrt{3} \left.\right) - \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , 0 , 2 a \sqrt{3} \left.\right)\)
nên \(\overset{\rightarrow}{S A}\) vuông góc với bất kỳ vectơ nằm trong mặt đáy \(A B C\), đặc biệt là vuông góc với \(\overset{\rightarrow}{B C} = \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) = \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right)\). Vì \(\overset{\rightarrow}{B C}\) nằm trong \(\left(\right. S B C \left.\right)\), ta có
\(\overset{\rightarrow}{S A} \bot \overset{\rightarrow}{B C} .\)
Do \(\overset{\rightarrow}{S A}\) nằm trong \(\left(\right. S A B \left.\right)\) và \(\overset{\rightarrow}{B C}\) nằm trong \(\left(\right. S B C \left.\right)\), theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc, suy ra
\(\left(\right. S A B \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \bot \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. S B C \left.\right) .\)
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(B M\) và \(S C\)
Hai đường thẳng \(B M\) và \(S C\) trong không gian nói chung là chéo nhau. Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo cho bởi
\(d = \frac{\mid \textrm{ } \left[\right. \overset{\rightarrow}{B S} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{v} , \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{w} \left]\right. \mid}{\parallel \overset{\rightarrow}{v} \times \overset{\rightarrow}{w} \parallel} ,\)
trong đó
\(\overset{\rightarrow}{B S} = S - B , \overset{\rightarrow}{v} = \text{v} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{c}-\text{t}o\&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B M , \overset{\rightarrow}{w} = \text{v} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{c}-\text{t}o\&\text{nbsp};\text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; S C ,\)
và \(\left[\right. \textrm{ } , , \textrm{ }\textrm{ } \left]\right.\) là tích vô hướng ba véc-tơ (determinant).
Xác định các véc-tơ
\(\overset{\rightarrow}{B S} = \left(\right. 0 , 2 a , 2 a \sqrt{3} \left.\right) - \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) = \left(\right. 0 , 2 a , 2 a \sqrt{3} \left.\right) .\) \(\overset{\rightarrow}{v} = \overset{\rightarrow}{B M} = M - B = \left(\right. a , a , 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) = \left(\right. a , a , 0 \left.\right) .\) \(\overset{\rightarrow}{w} = \overset{\rightarrow}{S C} = C - S = \left(\right. 2 a , 0 , 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , 2 a , 2 a \sqrt{3} \left.\right) = \left(\right. 2 a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } - 2 a \sqrt{3} \left.\right) .\)
1. Tính \(\overset{\rightarrow}{v} \times \overset{\rightarrow}{w}\).
\(\overset{\rightarrow}{v} \times \overset{\rightarrow}{w} = det \left(\right. \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & a & 0 \\ 2 a & - 2 a & - 2 a \sqrt{3} \left.\right) = \left(\right. - 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ } \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ } \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right) \textrm{ } \mathbf{k}\) \(= \left(\right. - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } - 4 a^{2} \left.\right) .\) \(\parallel \overset{\rightarrow}{v} \times \overset{\rightarrow}{w} \parallel = a^{2} \sqrt{\left(\right. - 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. - 4 \left.\right)^{2}} = a^{2} \sqrt{12 + 12 + 16} = 2 a^{2} \sqrt{10} .\)
2. Tính định thức \(\left[\right. \overset{\rightarrow}{B S} , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{v} , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{w} \left]\right.\).
\(\left[\right. \overset{\rightarrow}{B S} , \overset{\rightarrow}{v} , \overset{\rightarrow}{w} \left]\right. = det \left(\right. 0 & 2 a & 2 a \sqrt{3} \\ a & a & 0 \\ 2 a & - 2 a & - 2 a \sqrt{3} \left.\right) .\)
Ta phát triển theo hàng đầu:
\(= 0 \cdot det \textrm{ } \left(\right. a & 0 \\ - 2 a & - 2 a \sqrt{3} \left.\right) - 2 a \cdot det \textrm{ } \left(\right. a & 0 \\ 2 a & - 2 a \sqrt{3} \left.\right) + 2 a \sqrt{3} \cdot det \textrm{ } \left(\right. a & a \\ 2 a & - 2 a \left.\right) .\)
Từng thành phần:
Vậy
\(\left[\right. \overset{\rightarrow}{B S} , \overset{\rightarrow}{v} , \overset{\rightarrow}{w} \left]\right. = - 2 a \cdot \left(\right. - 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) + 2 a \sqrt{3} \cdot \left(\right. - 4 a^{2} \left.\right) = 4 a^{3} \sqrt{3} - 8 a^{3} \sqrt{3} = - 4 a^{3} \sqrt{3} .\)
Giá trị tuyệt đối là \(4 a^{3} \sqrt{3}\).
3. Khoảng cách
\(d = \frac{\mid \left[\right. \overset{\rightarrow}{B S} , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{v} , \textrm{ } \overset{\rightarrow}{w} \left]\right. \mid}{\parallel \overset{\rightarrow}{v} \times \overset{\rightarrow}{w} \parallel} = \frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{2 a^{2} \sqrt{10}} = \frac{2 a \sqrt{3}}{\sqrt{10}} = 2 a \sqrt{\frac{3}{10}} = \frac{a \sqrt{30}}{5} .\)
Kết quả
\(\boxed{\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{5} \textrm{ }} .\)