Question

[Hiếu Hạnh Nguyễn]

Cho △ ABC cân tại A, BH ⊥ AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì (M khác B&C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH.

a) Chứng minh: △ DBM = △ FMB.

b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.

c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm DK.

Answer 1

[LMV gamer]

a, Xét ΔDBM và ΔFMB, ta có:

Góc MDB= MFB=90 độ(gt)

Cạnh chung: \(M B\)

MD=MF (cùng là đoạn vuông góc từ M đến hai đường thẳng cắt nhau tại B)

⇒ \(\triangle D B M = \triangle F M B\) (c.g.c)

b,Vì \(M D ⊥ A B\), \(M E ⊥ A C\) nên MD, ME là các khoảng cách từ M đến hai cạnh AB, AC.

Ta biết tam giác ABC cân tại A, nên góc B = góc C \(\)
⇒ Tia phân giác trong cũng là tia phân giác ngoài: BH ⊥ AC
⇒ Góc giữa hai cạnh AB và AC bằng nhau, nên tổng khoảng cách từ M đến AB và AC (theo định lý hình học phản ánh ánh sáng hoặc định lý trục đối xứng) luôn không đổi khi M chạy trên cạnh BC.

Vì \(M D + M E\) là tổng các khoảng cách từ M đến 2 cạnh AB, AC của tam giác cân tại A ⇒ tổng đó không đổi.

c, Ta có:

EH ⊥ AC, nên EH là khoảng cách từ M đến AC

CK = EH ⇒ CK ⊥ AC

Mà điểm K nằm trên tia đối của CA, nên DK là đoạn thẳng cắt AC tại một điểm vuông góc

Xét tứ giác DHEK, có:

EH = CK (gt)

Góc DEH = góc KCE =90 độ

⇒ Tứ giác DEHK là hình chữ nhật ⇒ DK = HE + CK = 2CK

⇒ Trung điểm của DK chính là điểm nằm trên đường thẳng BC (vì M thuộc BC và các hình chiếu từ M tạo nên EH).
Do đó, BC đi qua trung điểm của DK.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: MF⊥BH

AC⊥BH

Do đó: MF//AC

=>\(\hat{FMB}=\hat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

mà \(\hat{ACB}=\hat{DBM}\) (ΔABC cân tại A)

nên \(\hat{DBM}=\hat{FMB}\)

Xét ΔDBM vuông tại D và ΔFMB vuông tại F có

MB chung

\(\hat{DBM}=\hat{FMB}\)

Do đó: ΔDBM=ΔFMB

b: ΔDBM=ΔFMB

=>MD=FB

Xét ΔFME vuông tại F và ΔEHF vuông tại H có

FE chung

\(\hat{MFE}=\hat{HEF}\) (hai góc so le trong, MF//HE)

Do đó: ΔFME=ΔEHF

=>ME=FH

MD+ME=FB+FH=BH không đổi khi M di chuyển trên BC