K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TC
0
NH
0
NT
0
Đây nhé, anh cũng không nhớ cách giải của lớp 6 đâu em ạ
Chúng ta có:
\(A=\frac{8}{9}+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}\)Quan sát tỷ số của các phân số, ta nhận thấy mẫu chung của các số hạng:
\(a_{n} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{n}{n + 1}\)Từ đó, ta có thể viết lại tổng:
\(A = \sum_{n = 8}^{10200} \frac{n}{n + 1}\)Ta biết:
\(\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}\)Vì vậy, tổng trở thành:
\(A = \sum_{n = 8}^{10200} \left(\right. 1 - \frac{1}{n + 1} \left.\right) = \sum_{n = 8}^{10200} 1 - \sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1}\)Tổng đầu tiên là:
\(\sum_{n = 8}^{10200} 1 = 10200 - 8 + 1 = 10193\)Tổng thứ hai:
\(\sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k}\)Vậy:
\(A = 10193 - \left(\right. \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k} \left.\right)\)Hợp nhất tổng:
\(A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)\)trong đó, \(H_{n}\) là số Heta (hàm tổng Heta):
\(H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}\)Vì vậy:
\(A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)\)Lúc này, ta sử dụng xấp xỉ của số Heta:
\(H_{n} \approx ln \left(\right. n \left.\right) + \gamma + \frac{1}{2 n}\)gần đúng với từng phần tử.
Tính xấp xỉ:
\(H_{10201} \approx ln \left(\right. 10201 \left.\right) + \gamma , H_{8} \approx ln \left(\right. 8 \left.\right) + \gamma\)Các số này sẽ chồng chéo xoay quanh nhau, vì vậy:
\(A \approx 10193 - \left(\right. ln \left(\right. 10201 \left.\right) - ln \left(\right. 8 \left.\right) \left.\right)\)Tính log tự nhiên:
\(ln \left(\right. 10201 \left.\right) \approx ln \left(\right. 10200 \left.\right) \approx ln \left(\right. 102 \times 100 \left.\right) = ln \left(\right. 102 \left.\right) + ln \left(\right. 100 \left.\right) \approx 4.624 + 4.605 = 9.229\)Và
\(ln \left(\right. 8 \left.\right) \approx 2.079\)Vì vậy:
\(A \approx 10193 - \left(\right. 9.229 - 2.079 \left.\right) = 10193 - 7.15 \approx 10185.85\)So sánh với yêu cầu chứng minh \(A > 99.75\): rõ ràng đúng, vì A xấp xỉ 10186 lớn hơn 99.75 rất nhiều.
Kết luận:
\(\boxed{A > 99.75}\)