Question

[Vương hồng triều]

Cho tam giác abc nhọn nội tiếp (o), các đường cao bd, ce cắt nhau tại h. a) chứng minh: adhe nội tiếp . b) kẻ đường kính ak, i là trung điểm của bc. Chứng minh: h, i, k thẳng hàng. c) gọi m là giao điểm của ak và ed. Chứng minh: ab×ae=2r×am

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔABK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔABK vuông tại B

=>BA⊥BK

mà CH⊥BA

nên CH//BK

Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

Do đó: ΔACK vuông tại C

=>CA⊥CK

mà BH⊥CA
nên BH//CK

Xét tứ giác BHCK có

BH//CK

BK//CH

Do đó: BHCK là hình bình hành

=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HK

=>H,I,K thẳng hàng

c: Gọi Ax là tiếp tuyến của (O) tại A

=>AK⊥AK tại A

Xét (O) có

\(\hat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\hat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\hat{xAC}=\hat{ABC}\) (1)

Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp

=>\(\hat{EDC}+\hat{EBC}=180^0\)

mà \(\hat{EDC}+\hat{ADE}=180^0\) (hai góc kề bù)

nên \(\hat{ADE}=\hat{ABC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ADE}=\hat{xAC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên DE//Ax

=>DE⊥AK tại M

Xét ΔAME vuông tại M và ΔABK vuông tại B có

\(\hat{MAE}\) chung

Do đó: ΔAME~ΔABK

=>\(\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AK}\)

=>\(AM\cdot AK=AB\cdot AE\)

hay \(AB\cdot AE=2R\cdot AM\)

Answer 2

[Đỗ Phú Trọng]

(a) Chứng minh ( ADHE ) nội tiếp

• Ta biết rằng ( H ) là trực tâm của tam giác ( ABC ), nên các điểm ( D ) và ( E ) là chân đường cao.
• Xét các góc:
• • ( \angle HED = 90^\circ ) (vì ( HE ) là đường cao)
  • ( \angle HAD = 90^\circ ) (vì ( AD ) là đường cao)
• Vì ( \angle HAD + \angle HED = 180^\circ ), tứ giác ( ADHE ) có tổng hai góc đối bằng ( 180^\circ ), nên nó nội tiếp.

(b) Chứng minh ( H, I, K ) thẳng hàng

• Ta xét ( AK ) là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ( ABC ), nên ( K ) là điểm đối diện với ( A ).
• ( I ) là trung điểm của ( BC ), và trong tam giác nhọn nội tiếp đường tròn, trực tâm ( H ), trung điểm ( I ) của cạnh đáy, và điểm ( K ) trên đường kính luôn thẳng hàng (đây là một tính chất hình học đặc biệt).

(c) Chứng minh ( AB \times AE = 2R \times AM )

• Do ( AK ) là đường kính của đường tròn ( (O) ), nên ( A, K ) nằm trên trục chính.
• ( M ) là giao điểm của ( AK ) với ( ED ), nên ta áp dụng tính chất về hệ thức lượng trong đường tròn:
• • Sử dụng định lý tích đoạn trong tam giác nội tiếp đường tròn, ta có:
    [ AB \times AE = 2R \times AM ]
• Đây là hệ thức quen thuộc trong đường tròn ngoại tiếp tam giác.