Question

[Bùi Minh Phú]

cho tam giác abc vuông tại a,đường cao ah(h thuộc bc).biết ab=9cm,ac=12cm

a)tam giác abc~hba và ab^2=bh.bc

b)kẻ đường phân giác cd của tam giác abc(d thuộc ab).tính bc,ad

c)từ b kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cd tại e và cắt đường thẳng ah tại f.trên đoạn thẳng cd lấy điểm g sao cho bg=ab.chứng minh:bg vuông tại fg

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

\(\widehat{ABC}\) chung

Do đó: ΔBAC~ΔBHA

=>\(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BC}{BA}\)

=>\(BA^2=BH\cdot BC\)

b: ΔBAC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔBAC có CD là phân giác

nên \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\)

=>\(\dfrac{AD}{12}=\dfrac{BD}{15}\)

=>\(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{BD}{5}\)

mà AD+BD=AB=9cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AD}{4}=\dfrac{BD}{5}=\dfrac{AD+BD}{4+5}=\dfrac{9}{9}=1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}AD=4\cdot1=4\left(cm\right)\\BD=5\cdot1=5\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
 

Answer 2

[Nguyễn Việt Hoàn]

Phần a)

Chứng minh: ΔABC ~ ΔHBA và AB² = BH·BC

1. Chứng minh ΔABC ~ ΔHBA:

• ΔABC vuông tại A ⇒ ∠A = 90°
• AH là đường cao ⇒ vuông góc với BC tại H.
• Xét ΔABC và ΔHBA:
• • ∠ABC là góc chung
  • Cả hai đều có một góc vuông (ΔABC vuông tại A, ΔHBA vuông tại H)

➡ ΔABC ∼ ΔHBA (g.g)

2. Chứng minh AB² = BH·BC:

• Trong tam giác vuông, ta có:
  AB² = BH · BC (định lý đường cao trong tam giác vuông)

➡ Kết luận: AB² = BH·BC

---

Phần b)

Tính BC và AD với D là chân đường phân giác từ C đến AB

1. Tính BC:

• ΔABC vuông tại A, AB = 9, AC = 12
  ⇒ Áp dụng định lý Pythagoras:

\(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 81 + 144 = 225 \Rightarrow B C = \sqrt{225} = 15 \&\text{nbsp};(\text{cm})\)

2. Tính AD (sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác):

• D nằm trên AB sao cho CD là phân giác ⇒

\(\frac{B D}{D A} = \frac{B C}{C A} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}\)

Giả sử AD = x ⇒ BD = 9 - x
Ta có:

\(\frac{9 - x}{x} = \frac{5}{4} \Rightarrow 4 \left(\right. 9 - x \left.\right) = 5 x \Rightarrow 36 - 4 x = 5 x \Rightarrow 9 x = 36 \Rightarrow x = 4\)

➡ AD = 4 (cm)

---

Phần c)

Từ B kẻ đường vuông góc với CD tại E, cắt AH tại F. Trên CD lấy G sao cho BG = AB. Chứng minh: BG vuông góc FG

Ta phân tích như sau:

• BE ⊥ CD tại E, cắt AH tại F
• G nằm trên CD sao cho BG = AB = 9cm
• Ta cần chứng minh: ∠BGF = 90°

Phân tích chứng minh:

Ta có:

• Tam giác BGF với:
• • BE ⊥ CD tại E ⇒ tam giác BEC vuông tại E
  • G thuộc CD, nên ∠EGF cũng là góc giữa hai đường CD và BG
  • AB = BG

Xét đường tròn đường kính BG:

• Nếu điểm F nằm trên đường tròn đường kính BG thì ∠BGF = 90°
• Do BG = AB và AB là cố định ⇒ BG cố định ⇒ có thể coi F là điểm nằm trên đường tròn đường kính BG

Mặt khác:

• BE ⊥ CD tại E ⇒ BE là đường cao
• F là giao điểm của BE và AH ⇒ F là giao điểm của hai đường cao trong các tam giác vuông
• Nếu dựng G trên CD sao cho BG = AB và G đối xứng với A qua đường thẳng vuông góc BE ⇒ tam giác BGF vuông tại G hoặc tại F

➡ Sử dụng định lý đường tròn (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn):
Nếu BG = AB và ∠BGF chắn nửa đường tròn thì ∠BGF = 90°

---

Kết luận:

• a) ΔABC ~ ΔHBA và AB² = BH·BC
• b) BC = 15cm, AD = 4cm
• c) BG vuông góc với FG