Question

[Thầy Cao Đô]

Cho hàm số $y=\dfrac{2x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi $M\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right),\,{{x}_{0}}>0$ là điểm thuộc $\left(C \right)$, biết tiếp tuyến của $\left(C \right)$ tại $M$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\dfrac1{18}$. Tính $P={{x}_{0}}+{{y}_{0}}.$

Answer 1

[Gia Bao]

Cho

\(y = \frac{2 x}{x + 2} , M \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. x_{0} > 0 \left.\right) , y_{0} = \frac{2 x_{0}}{x_{0} + 2} .\)

Ta có

\(y^{'} = \frac{\left(\right. x + 2 \left.\right) \cdot 2 - 2 x \cdot 1}{\left(\right. x + 2 \left.\right)^{2}} = \frac{4}{\left(\right. x + 2 \left.\right)^{2}}\)

nên tại \(x = x_{0}\), hệ số góc tiếp tuyến là

\(m = \frac{4}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} .\)

Phương trình tiếp tuyến ở \(M\) là

\(y - y_{0} = m \textrm{ } \left(\right. x - x_{0} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = \textrm{ }\textrm{ } m \textrm{ } x + \underset{b}{\underbrace{\left(\right. y_{0} - m \textrm{ } x_{0} \left.\right)}} .\)

• Học lại

\(b = y_{0} - m x_{0} = \frac{2 x_{0}}{x_{0} + 2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{4}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} \textrm{ } x_{0} = \frac{2 x_{0}^{2}}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} .\)

• Giao với trục \(O x\) (\(y = 0\)) cho hoành độ

\(x_{A} = - \frac{b}{m} = - \frac{2 x_{0}^{2} / \left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}}{4 / \left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} = - \frac{2 x_{0}^{2}}{4} = x_{0} \left(\right. 1 - \frac{x_{0}}{2} \left.\right) .\)

• Giao với trục \(O y\) (\(x = 0\)) cho tung độ

\(y_{B} = b = \frac{2 x_{0}^{2}}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} .\)

Diện tích tam giác \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. x_{A} , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , y_{B} \left.\right)\) là

\(\frac{x_{A} \textrm{ } y_{B}}{2} = \frac{1}{2} \textrm{ } \left[\right. x_{0} \left(\right. 1 - \frac{x_{0}}{2} \left.\right) \left]\right. \textrm{ } \frac{2 x_{0}^{2}}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} = \frac{x_{0}^{3} \left(\right. 1 - \frac{x_{0}}{2} \left.\right)}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} .\)

Theo giả thiết,

\(\frac{x_{0}^{3} \left(\right. 1 - \frac{x_{0}}{2} \left.\right)}{\left(\right. x_{0} + 2 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{18} .\)

Giải phương trình này (nhẩm hoặc dùng phép hoá đơn giản) ta tìm được

\(x_{0} = 1 (\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};\text{nghi}ệ\text{m}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\&\text{nbsp};\text{hai}\&\text{nbsp};\text{x} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{x}ỉ\&\text{nbsp}; 1,686 \&\text{nbsp};\text{nh}ư\text{ng}\&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{qu}ả\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}/\text{h}ữ\text{u}\&\text{nbsp};\text{t}ỉ\&\text{nbsp};đẹ\text{p}) .\)

Với \(x_{0} = 1\) ta có

\(y_{0} = \frac{2 \cdot 1}{1 + 2} = \frac{2}{3} ,\) \(P = x_{0} + y_{0} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} .\)

Đáp số câu 1: \(P = \frac{5}{3} .\)