Question

[Thầy Cao Đô]

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2$. Cạnh bên $SA=2\sqrt{2}$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $\left(ABCD \right)$ là điểm $I$ của thuộc đoạn $AC$ thỏa mãn $AC=4AI$. Khoảng cách giữa đường thẳng $AD$ và $SB$ bằng bao nhiêu ?

Answer 1

[Gia Bao]

Cho tứ giác đáy \(A B C D\) là hình vuông cạnh \(2\),

\(A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } B = \left(\right. 2 , 0 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C = \left(\right. 2 , 2 , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } D = \left(\right. 0 , 2 , 0 \left.\right) .\)

Đỉnh \(S\) có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng đáy tại

\(I \in A C , A I = \frac{1}{4} \textrm{ } A C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } I \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 0 \left.\right) .\)

Gọi \(h = S I\). Vì \(S A = 2 \sqrt{2}\), ta có

\(S A^{2} = \left(\right. S I \left.\right)^{2} + \left(\right. I A \left.\right)^{2} = h^{2} + \left(\right. \frac{\sqrt{2}}{2} \left.\right)^{2} = h^{2} + \frac{1}{2} = \left(\right. 2 \sqrt{2} \left.\right)^{2} = 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{2} = 7.5 = \frac{15}{2} ,\) \(S = \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , \sqrt{\frac{15}{2}} \left.\right) .\)

Tính khoảng cách hai đường thẳng

\(d \left(\right. A D , \textrm{ } S B \left.\right) = \frac{\mid \overset{\rightarrow}{S A_{0}} \cdot \left(\right. \mathbf{d}_{A D} \times \mathbf{d}_{S B} \left.\right) \mid}{\parallel \mathbf{d}_{A D} \times \mathbf{d}_{S B} \parallel} ,\)

trong đó

\(\mathbf{d}_{A D} = \left(\right. 0 , 2 , 0 \left.\right) , \mathbf{d}_{S B} = \left(\right. 2 , 0 , 0 \left.\right) - S = \left(\right. 1.5 , - 0.5 , - \sqrt{15 / 2} \left.\right) ,\)

\(\overset{\rightarrow}{S A_{0}} = A - S = \left(\right. - \frac{1}{2} , - \frac{1}{2} , - \sqrt{15 / 2} \left.\right)\).
Tính nhanh cho kết quả

\(\boxed{d \left(\right. A D , \textrm{ } S B \left.\right) = 2 \sqrt{\frac{10}{13}} = \frac{2 \sqrt{130}}{13} .}\)

---

Kết quả cuối cùng:

\(\boxed{P = \frac{5}{3} , d \left(\right. A D , S B \left.\right) = 2 \sqrt{\frac{10}{13}} .}\)