Question

[Hà Thùy Linh]

Answer 1

[Gia Bao]

Để giúp bạn rõ ràng, mình sẽ giải từng bài một nhé:

---

Bài 5

Cho:

• Ly thủy tinh hình nón, bán kính đáy \(r = 2 \textrm{ } c m\), chiều cao \(H = 6 \textrm{ } c m\).
• Rượu trong ly cao \(h = 3 \textrm{ } c m\).
• 8 viên đá hình lập phương, cạnh viên đá \(a = 0.5 \textrm{ } c m\).

---

a) Tính thể tích cái ly và tỉ lệ % thể tích rượu có trong ly.

• Thể tích hình nón tính theo công thức:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^{2} H\) \(V_{l y} = \frac{1}{3} \pi \times 2^{2} \times 6 = \frac{1}{3} \pi \times 4 \times 6 = 8 \pi \textrm{ } c m^{3} \approx 25.13 \textrm{ } c m^{3}\)

• Thể tích rượu (h = 3 cm) trong hình nón tương tự nhưng bán kính đáy tỷ lệ với chiều cao, do đó bán kính rượu \(r_{r ượ u}\) là:

\(r_{r ượ u} = r \times \frac{h}{H} = 2 \times \frac{3}{6} = 1 \textrm{ } c m\)

Thể tích rượu:

\(V_{r ượ u} = \frac{1}{3} \pi r_{r ượ u}^{2} h = \frac{1}{3} \pi \times 1^{2} \times 3 = \pi \textrm{ } c m^{3} \approx 3.14 \textrm{ } c m^{3}\)

• Tỉ lệ % thể tích rượu so với ly:

\(t ỉ l ệ = \frac{V_{r ượ u}}{V_{l y}} \times 100 = \frac{3.14}{25.13} \times 100 \approx 12.5 \%\)

---

b) Bỏ 8 viên đá hình lập phương cạnh 0.5 cm vào ly, hỏi chiều cao rượu sau khi bỏ đá là bao nhiêu?

• Thể tích 8 viên đá:

\(V_{đ \overset{ˊ}{a}} = 8 \times \left(\right. 0.5 \left.\right)^{3} = 8 \times 0.125 = 1 \textrm{ } c m^{3}\)

• Thể tích rượu ban đầu là \(3.14 \textrm{ } c m^{3}\). Sau khi bỏ đá, tổng thể tích chiếm chỗ là:

\(V_{t ổ n g} = V_{r ượ u} + V_{đ \overset{ˊ}{a}} = 3.14 + 1 = 4.14 \textrm{ } c m^{3}\)

• Gọi chiều cao rượu mới là \(h^{'}\), bán kính đáy của phần rượu mới là:

\(r^{'} = 2 \times \frac{h^{'}}{6} = \frac{h^{'}}{3}\)

• Thể tích rượu sau khi đá chiếm chỗ vẫn là thể tích hình nón với chiều cao \(h^{'}\):

\(V_{t ổ n g} = \frac{1}{3} \pi r^{' 2} h^{'} = \frac{1}{3} \pi \left(\left(\right. \frac{h^{'}}{3} \left.\right)\right)^{2} h^{'} = \frac{1}{3} \pi \frac{h^{' 3}}{9} = \frac{\pi h^{' 3}}{27}\)

• Ta có:

\(\frac{\pi h^{' 3}}{27} = 4.14 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{' 3} = \frac{4.14 \times 27}{\pi} \approx \frac{111.78}{3.1416} \approx 35.58\)

• Suy ra:

\(h^{'} = \sqrt[3]{35.58} \approx 3.29 \textrm{ } c m\)

Vậy chiều cao rượu sau khi bỏ đá là khoảng 3.29 cm.

---

Bài 6

Đề bài tóm tắt:

• Thang máy A và B ban đầu cách nhau 20 tầng (A cao hơn B).
• A bắt đầu di chuyển xuống lúc 9h00.
• B bắt đầu di chuyển lúc 9h03.
• Lúc 9h04, hai thang ở cùng tầng.
• Lúc 9h08, B vừa tới tầng trệt, A còn cách tầng trệt 40 tầng.

---

Giải:

Gọi:

• \(x\) là tầng ban đầu của thang A.
• \(y\) là tầng ban đầu của thang B.
• Vận tốc thang A là \(v_{A}\) tầng/phút.
• Vận tốc thang B là \(v_{B}\) tầng/phút.

---

Phân tích:

• Ban đầu: \(x - y = 20\) (vì A cao hơn B 20 tầng).
• Thời gian tính từ 9h00.
• Tại 9h04 (4 phút sau khi A bắt đầu), thang B đã chạy 1 phút (bắt đầu lúc 9h03).
• Lúc đó, vị trí A và B bằng nhau:

\(x - 4 v_{A} = y - 1 v_{B} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x - y = 4 v_{A} - v_{B}\)

Nhưng \(x - y = 20\), nên:

\(20 = 4 v_{A} - v_{B} \left(\right. 1 \left.\right)\)

---

• Lúc 9h08:
• Thang B vừa xuống tầng trệt (tầng 0), đã chạy được 5 phút (từ 9h03 đến 9h08).
• Thang A còn cách tầng trệt 40 tầng, tức vị trí của A lúc 9h08 là 40.
• Tính vị trí thang A lúc 9h08 (8 phút chạy):

\(x - 8 v_{A} = 40 \left(\right. 2 \left.\right)\)

• Thang B lúc 9h08 đã chạy 5 phút từ tầng \(y\):

\(y - 5 v_{B} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 5 v_{B} \left(\right. 3 \left.\right)\)

---

Giải hệ phương trình:

Từ (1):

\(20 = 4 v_{A} - v_{B} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } v_{B} = 4 v_{A} - 20\)

Thay \(v_{B}\) vào (3):

\(y = 5 v_{B} = 5 \left(\right. 4 v_{A} - 20 \left.\right) = 20 v_{A} - 100\)

Từ (2):

\(x - 8 v_{A} = 40 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = 40 + 8 v_{A}\)

Nhưng \(x - y = 20\), nên:

\(\left(\right. 40 + 8 v_{A} \left.\right) - \left(\right. 20 v_{A} - 100 \left.\right) = 20\) \(40 + 8 v_{A} - 20 v_{A} + 100 = 20\) \(140 - 12 v_{A} = 20\) \(- 12 v_{A} = 20 - 140 = - 120\) \(v_{A} = 10 (\text{t} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{ng}/\text{ph} \overset{ˊ}{\text{u}} \text{t})\)

---

Tính \(v_{B}\):

\(v_{B} = 4 v_{A} - 20 = 4 \times 10 - 20 = 40 - 20 = 20\)

Tính \(x\) và \(y\):

\(x = 40 + 8 v_{A} = 40 + 8 \times 10 = 40 + 80 = 120\) \(y = 20 v_{A} - 100 = 20 \times 10 - 100 = 200 - 100 = 100\)

---

Kết luận:

• Thang máy A ban đầu ở tầng 120.
• Thang máy B ban đầu ở tầng 100.

---

Bạn có thể hỏi nếu cần mình giải thích thêm nhé!