Câu hỏi của hai yen

Question

a)Hiện nay, vấn đề an toàn thực phẩm luôn được quan tâm, đặc biệt là khỉ các vụ việc do thực phẩm bẩn gây nên ngày càng tăng. Vì thế, nhằm nâng cao mức độ an toàn và năng suất sản xuất của ra...

Gia Bao · Accepted Answer

a) Bài toán: “Nhà kính mái vòm dạng parabol, đỉnh cao 4 m, hai chân cách nhau 4 m. Tìm kích thước cửa chữ nhật lớn nhất đặt dưới mái vòm.”

Phân tích & giải

Lập hệ trục tọa độ cho parabol
- Giả sử trục hoành $O x$ nằm ngang trên mặt đất, trục tung $O y$ nằm thẳng đứng.
- Mái vòm là parabol có đỉnh tại điểm $\left(\right. 0 , \textrm{ } 4 \left.\right)$ (cao 4 m) và cắt trục hoành tại hai chân mái: $x = - 2$ và $x = + 2$ (vì khoảng cách giữa hai chân mái là 4 m).
- Dạng tổng quát của parabol có đỉnh $\left(\right. 0 , \textrm{ } 4 \left.\right)$:
  $y = a x^{2} + 4.$
  Khi $x = 2$ hoặc $x = - 2$, $y = 0$. Thay $x = 2 , \textrm{ } y = 0$ → $0 = a \cdot 2^{2} + 4 \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 a + 4 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = - 1.$
- Vậy phương trình mái vòm:
  $y = - \textrm{ } x^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 4.$
Kích thước cửa chữ nhật nằm dưới parabol
- Giả sử cửa có chiều rộng (ngang) là $2 x$ (từ $x = - \textrm{ } x$ đến $x = + \textrm{ } x$), độ cao (dọc) là $y$. Vì cửa nằm ở mặt đất, đáy cửa chạm $y = 0$; đỉnh trên của cửa chạm parabol tại cùng hoành độ $\pm x$.
- Khi hoành độ là $x$, parabol cho $y = - x^{2} + 4$. Đó chính là chiều cao cửa:
  $H = - \textrm{ } x^{2} + 4.$
- Chiều rộng cửa: $2 x$.
- Diện tích cửa là:
  $A \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \left.\right) \times \left(\right. \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} \left.\right) = \left(\right. 2 x \left.\right) \textrm{ } \left(\right. - x^{2} + 4 \left.\right) = 2 x \textrm{ } \left(\right. - x^{2} + 4 \left.\right) = - 2 x^{3} + 8 x .$
Tìm $x$ để $A \left(\right. x \left.\right)$ lớn nhất
- Lấy đạo hàm:
  $A^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{d}{d x} \left(\right. - 2 x^{3} + 8 x \left.\right) = - 6 x^{2} + 8.$
- Giải $A^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0$:
  $- 6 x^{2} + 8 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 6 x^{2} = 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left(\right. \text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{y}\&\text{nbsp}; x > 0 \left.\right) .$
- Khi đó chiều rộng cửa $= 2 x = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ m.
- Chiều cao cửa:
  $H = - \textrm{ } x^{2} + 4 = - \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) + 4 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3} \&\text{nbsp};\text{m} .$
- Vậy kích thước tối ưu:
  $\boxed{\text{Chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng}\&\text{nbsp}; = \frac{4}{\sqrt{3}} \&\text{nbsp};\text{m} , \text{Chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao}\&\text{nbsp}; = \frac{8}{3} \&\text{nbsp};\text{m} .}$
- (Nếu muốn dạng số: $\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2,31$ m, $\frac{8}{3} \approx 2,67$ m.)

b) Bài toán: “Ống thép mạ kẽm dài ống hồi l = …, đường kính ngoài 6 cm, độ dày ống là 3 mm. Tính thể tích phần thép (tức lớp thép)?”

Giả sử chiều dài ống là $l$ (tính theo cm).

Cho biết:
- Đường kính ngoài $D_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = 6 \&\text{nbsp};\text{cm}$.
- Độ dày thành ống $t = 3 \&\text{nbsp};\text{mm} = 0,3 \&\text{nbsp};\text{cm}$.
- Bán kính ngoài $R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = \frac{D_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \&\text{nbsp};\text{cm} .$
- Bán kính trong (suốt ruột) là $R_{\text{trong}} = R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} - t = 3 - 0,3 = 2,7 \&\text{nbsp};\text{cm} .$
Thể tích toàn ống (kể cả ruột rỗng)
$V_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = \pi \textrm{ } R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}}^{2} \times l = \pi \cdot 3^{2} \cdot l = 9 \pi \textrm{ } l \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .$
Thể tích ruột rỗng (phần không phải thép)
$V_{\text{trong}} = \pi \textrm{ } R_{\text{trong}}^{2} \times l = \pi \cdot \left(\right. 2,7 \left.\right)^{2} \cdot l = \pi \cdot 7,29 \cdot l = 7,29 \textrm{ } \pi \textrm{ } l .$
Thể tích phần thép (vỏ ống)
$V_{\text{th} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{p}} = V_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} - V_{\text{trong}} = \left(\right. 9 \pi \textrm{ } l \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 7,29 \textrm{ } \pi \textrm{ } l \left.\right) = \left(\right. 9 - 7,29 \left.\right) \textrm{ } \pi \textrm{ } l = 1,71 \textrm{ } \pi \textrm{ } l .$
Nếu lấy $\pi = 3,14$, thì
$V_{\text{th} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{p}} = 1,71 \times 3,14 \times l = 5,3694 \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .$
→ Vậy thể tích phần thép (vỏ ống) là
$\boxed{V = 1,71 \textrm{ } \pi \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \approx 5,3694 \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .}$
(Thay giá trị chiều dài $l$ vào để ra kết quả số.)

Câu trả lời:

a) Bài toán: “Nhà kính mái vòm dạng parabol, đỉnh cao 4 m, hai chân cách nhau 4 m. Tìm kích thước cửa chữ nhật lớn nhất đặt dưới mái vòm.”

Phân tích & giải

Lập hệ trục tọa độ cho parabol
- Giả sử trục hoành $O x$ nằm ngang trên mặt đất, trục tung $O y$ nằm thẳng đứng.
- Mái vòm là parabol có đỉnh tại điểm $\left(\right. 0 , \textrm{ } 4 \left.\right)$ (cao 4 m) và cắt trục hoành tại hai chân mái: $x = - 2$ và $x = + 2$ (vì khoảng cách giữa hai chân mái là 4 m).
- Dạng tổng quát của parabol có đỉnh $\left(\right. 0 , \textrm{ } 4 \left.\right)$:
  $y = a x^{2} + 4.$
  Khi $x = 2$ hoặc $x = - 2$, $y = 0$. Thay $x = 2 , \textrm{ } y = 0$ → $0 = a \cdot 2^{2} + 4 \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 a + 4 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Rightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = - 1.$
- Vậy phương trình mái vòm:
  $y = - \textrm{ } x^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 4.$
Kích thước cửa chữ nhật nằm dưới parabol
- Giả sử cửa có chiều rộng (ngang) là $2 x$ (từ $x = - \textrm{ } x$ đến $x = + \textrm{ } x$), độ cao (dọc) là $y$. Vì cửa nằm ở mặt đất, đáy cửa chạm $y = 0$; đỉnh trên của cửa chạm parabol tại cùng hoành độ $\pm x$.
- Khi hoành độ là $x$, parabol cho $y = - x^{2} + 4$. Đó chính là chiều cao cửa:
  $H = - \textrm{ } x^{2} + 4.$
- Chiều rộng cửa: $2 x$.
- Diện tích cửa là:
  $A \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng} \left.\right) \times \left(\right. \text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao} \left.\right) = \left(\right. 2 x \left.\right) \textrm{ } \left(\right. - x^{2} + 4 \left.\right) = 2 x \textrm{ } \left(\right. - x^{2} + 4 \left.\right) = - 2 x^{3} + 8 x .$
Tìm $x$ để $A \left(\right. x \left.\right)$ lớn nhất
- Lấy đạo hàm:
  $A^{'} \left(\right. x \left.\right) = \frac{d}{d x} \left(\right. - 2 x^{3} + 8 x \left.\right) = - 6 x^{2} + 8.$
- Giải $A^{'} \left(\right. x \left.\right) = 0$:
  $- 6 x^{2} + 8 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 6 x^{2} = 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \left(\right. \text{ch}ỉ\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{y}\&\text{nbsp}; x > 0 \left.\right) .$
- Khi đó chiều rộng cửa $= 2 x = 2 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ m.
- Chiều cao cửa:
  $H = - \textrm{ } x^{2} + 4 = - \left(\right. \frac{4}{3} \left.\right) + 4 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12 - 4}{3} = \frac{8}{3} \&\text{nbsp};\text{m} .$
- Vậy kích thước tối ưu:
  $\boxed{\text{Chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{r}ộ\text{ng}\&\text{nbsp}; = \frac{4}{\sqrt{3}} \&\text{nbsp};\text{m} , \text{Chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{cao}\&\text{nbsp}; = \frac{8}{3} \&\text{nbsp};\text{m} .}$
- (Nếu muốn dạng số: $\frac{4}{\sqrt{3}} \approx 2,31$ m, $\frac{8}{3} \approx 2,67$ m.)

b) Bài toán: “Ống thép mạ kẽm dài ống hồi l = …, đường kính ngoài 6 cm, độ dày ống là 3 mm. Tính thể tích phần thép (tức lớp thép)?”

Giả sử chiều dài ống là $l$ (tính theo cm).

Cho biết:
- Đường kính ngoài $D_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = 6 \&\text{nbsp};\text{cm}$.
- Độ dày thành ống $t = 3 \&\text{nbsp};\text{mm} = 0,3 \&\text{nbsp};\text{cm}$.
- Bán kính ngoài $R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = \frac{D_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}}}{2} = \frac{6}{2} = 3 \&\text{nbsp};\text{cm} .$
- Bán kính trong (suốt ruột) là $R_{\text{trong}} = R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} - t = 3 - 0,3 = 2,7 \&\text{nbsp};\text{cm} .$
Thể tích toàn ống (kể cả ruột rỗng)
$V_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} = \pi \textrm{ } R_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}}^{2} \times l = \pi \cdot 3^{2} \cdot l = 9 \pi \textrm{ } l \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .$
Thể tích ruột rỗng (phần không phải thép)
$V_{\text{trong}} = \pi \textrm{ } R_{\text{trong}}^{2} \times l = \pi \cdot \left(\right. 2,7 \left.\right)^{2} \cdot l = \pi \cdot 7,29 \cdot l = 7,29 \textrm{ } \pi \textrm{ } l .$
Thể tích phần thép (vỏ ống)
$V_{\text{th} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{p}} = V_{\text{ngo} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}} - V_{\text{trong}} = \left(\right. 9 \pi \textrm{ } l \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 7,29 \textrm{ } \pi \textrm{ } l \left.\right) = \left(\right. 9 - 7,29 \left.\right) \textrm{ } \pi \textrm{ } l = 1,71 \textrm{ } \pi \textrm{ } l .$
Nếu lấy $\pi = 3,14$, thì
$V_{\text{th} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{p}} = 1,71 \times 3,14 \times l = 5,3694 \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .$
→ Vậy thể tích phần thép (vỏ ống) là
$\boxed{V = 1,71 \textrm{ } \pi \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \approx 5,3694 \textrm{ } l \&\text{nbsp}; \left(\right. \text{cm}^{3} \left.\right) .}$
(Thay giá trị chiều dài $l$ vào để ra kết quả số.)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP