Câu hỏi của Thanh Tùng Nguyễn

Question

<p><img src="https://cdn3.olm.vn/upload/img/0416/img_2025-04-16_67fefd142883f.jpg" alt="Giai giup minh 3 câu này với" width="698" height="365" title="Giai giup minh 3 câu nay vơi" class="position-none...

Gia Bao · Accepted Answer

BÀI 3. Cho tam giác đều $A B C$. Lấy một điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi $X , Y , Z$ lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua các cạnh $B C , C A , A B$. Kẻ đường cao $A H \bot B C$. Gọi $T$ là trung điểm của đoạn $X Z$.

(a) Chứng minh $\triangle B A Z sim \triangle A B H T$.

Chú thích trước khi chứng minh:
$A B C$ là tam giác đều nên $\angle A B C = \angle B C A = \angle C A B = 60^{\circ}$.
$Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$ tại trung điểm của $M Z$.
$X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$.

Ta sẽ chứng minh hai tam giác $B A Z$ và $A B H T$ đồng dạng bằng cách chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xác định các góc đặc biệt
- Vì $Z$ đối xứng $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$. Suy ra $\angle B Z A$ là góc vuông (vì $Z$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $A B$, tức đoạn $M Z \bot A B$). Do đó
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, suy ra $A H \bot B C$. Đồng thời, vì $X$ là ảnh của $M$ qua $B C$, nên $X$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $B C$, tức $M X \bot B C$. Kết hợp hai điều này, $A H$ và $M X$ đều vuông góc với $B C$, nên chúng song song nhau:
  $A H \parallel M X .$
- $T$ là trung điểm của $X Z$. Do hai điểm $X$ và $Z$ đều nằm trên hai đường thẳng vuông góc với $B C$ (lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$ và $A B$), nên $X T$ và $T Z$ thẳng hàng.
Chứng minh hai góc ở hai tam giác bằng nhau
- Góc $\angle B A Z$ (trong $\triangle B A Z$)
  Xét tam giác đều $A B C$. Vì $A B C$ đều, $\angle C A B = 60^{\circ}$. Mặt khác, $Z$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $A B$ (ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$), nên $A Z$ vuông góc với $A B$. Vậy
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle C A B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Góc $\angle A B H$ (trong $\triangle A B H$)
  Vì $A H \bot B C$ và $A B C$ đều nên $\angle A B C = 60^{\circ}$. Từ đó,
  $\angle A B H = 90^{\circ} - \angle H B O \left(\right. \backslash\text{HBO} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nh}ọ\text{n}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; \triangle A B H \left.\right) .$
  Nhưng cụ thể hơn:
- - $A H \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \angle A H B = 90^{\circ} .$
  - Trong tam giác $A B C$ đều, $\angle A B C = 60^{\circ}$. Vì $H$ thuộc $B C$, điểm thẳng hàng với $B$, nên $\angle A B H$ là góc kề bù của $\angle A B C$ trong tam giác $A B H$. Do đó
    $\angle A B H = 180^{\circ} - \angle A B C - \angle A H B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Do vậy,
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 30^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A B H = 30^{\circ} \Longrightarrow \angle B A Z = \angle A B H .$
- Góc $\angle B Z A$ (trong $\triangle B A Z$)
  Như đã nêu, $A B \bot M Z$ nên $B Z A$ là góc vuông:
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- Góc $\angle A H T$
- - Chúng ta đã thấy $A H \parallel M X$. Vì $T$ là trung điểm $X Z$, nên $M T \parallel A Z$ (với $A Z \bot A B$). Khi tầm quan sát theo hình vẽ, ta có “$A H$ vuông góc với $B C$” và “$M X$ vuông góc với $B C$”, nên $A H \parallel M X$.
  - Đồng thời, $Z$ nằm trên đường vuông góc từ $M$ tới $A B$, tức $M Z \bot A B$. Và $T$ nằm trên $X Z$, nên suy ra $T Z \bot A B$. Do đó $T Z \parallel M Z$.
  - Tóm lại, $A H \bot B C$ và $M X \bot B C$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A H \parallel M X$. Còn $A Z \bot A B$ và $M Z \bot A B$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A Z \parallel M Z$. Kết hợp lại, tam giác $A H T$ vuông góc tại $H$.
  - Khi đó, trong $\triangle A B H$, $\angle A H T$ là góc tại $H$ tạo bởi $A H$ và $H T$. Mà $A H$ vuông góc với $B C$, đồng thời $H T$ song song với $A Z$ (vì $T$ trung điểm $X Z$ và $Z \in \left(\right. M Z \left.\right)$), tức $H T \parallel A Z$. Ta đã có $A Z \bot A B$.
    ⇒ $H T \parallel A Z \bot A B$. Do đó
    $\angle A H T = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A H \bot B C , \textrm{ }\textrm{ } H T \bot A B \left.\right) .$
- Vậy
  $\angle B Z A = 90^{\circ} = \angle A H T .$
Kết luận đồng dạng
Trong hai tam giác $B A Z$ và $A B H \textrm{ }⁣ T$ (thực chất tam giác $A B H$ với điểm ở $T$ tạo góc vuông), chúng ta đã chứng minh:
$\angle B A Z = \angle A B H \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle B Z A = \angle A H T = 90^{\circ} .$
Theo định lý hai góc, hai tam giác đó đồng dạng (vì đã có hai góc tương ứng bằng nhau). Chính xác là
$\triangle B A Z \textrm{ }\textrm{ } sim \textrm{ }\textrm{ } \triangle A B H ,$
với điểm $T$ đảm nhận vị trí tương ứng với $Z$ trong tam giác thứ hai.

(b) Chứng minh: tam giác $X Y Z$ và tam giác $A B C$ có cùng trọng tâm

Ý tưởng chính: Trong tam giác đều $A B C$, khi ta lấy một điểm $M$ bất kỳ, rồi dựng ba điểm $X , Y , Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua ba cạnh, thì $X + Y + Z = A + B + C$ (trong nghĩa tọa độ). Từ đó, trọng tâm của tam giác $X Y Z$ trùng với trọng tâm của tam giác $A B C$.

Xác định tọa độ bằng cách ký hiệu vectơ
- Gọi $\overset{\rightarrow}{O A} = \mathbf{a}$, $\overset{\rightarrow}{O B} = \mathbf{b}$, $\overset{\rightarrow}{O C} = \mathbf{c}$. Vì $A B C$ đều, chúng ta không cần chọn hệ toạ độ cụ thể, chỉ cần thao tác với vectơ.
- Gọi $\overset{\rightarrow}{O M} = \mathbf{m}$.
Tọa độ (vectơ) của ảnh đối xứng $X , Y , Z$
- Vì $X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua cạnh $B C$, nghĩa là $B C$ là trục đối xứng, suy ra
  $\overset{\rightarrow}{O X} = \overset{\rightarrow}{O \left(\right. M_{\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{chi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{l} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; B C} \left.\right)} \times 2 - \overset{\rightarrow}{O M} .$
  Nhưng cách nhanh hơn: trong không gian phẳng, đối xứng qua đường thẳng $B C$ có công thức vectơ:
  $\overset{\rightarrow}{O X} = \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} .$
  Lý do: đường thẳng $B C$ có tác dụng hoán vị $\mathbf{b} \leftrightarrow \mathbf{b} , \textrm{ }\textrm{ } \mathbf{c} \leftrightarrow \mathbf{c}$ và đối xứng $\mathbf{m} \rightarrowtail \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m}$.
- Tương tự,
  $\overset{\rightarrow}{O Y} = \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} , \overset{\rightarrow}{O Z} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} .$
Tọa độ trọng tâm của tam giác $X Y Z$
- Gọi $G_{X Y Z}$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$. Ta có
  $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} \left.\right) = \frac{1}{3} \left[\right. \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} \left.\right) \left]\right. .$
- Tính tổng bên trong:
  $\left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} \left.\right) = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 \mathbf{m} .$
- Thay vào, ta được:
  $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{1}{3} \left[\right. \textrm{ } 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) - 3 \mathbf{m} \left]\right. = \frac{2}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) - \mathbf{m} .$
Tọa độ trọng tâm tam giác $A B C$
- Gọi $G_{A B C}$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Ngay lập tức:
  $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
Chứng minh hai trọng tâm trùng nhau
- Chỉ cần so sánh $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}}$ và $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}}$.
- Nhưng lưu ý: $M$ nằm bên trong tam giác $A B C$. Nếu ta “dịch” toàn bộ hệ tọa độ sao cho $M$ trùng với gốc, thì
  $\mathbf{m} = \overset{\rightarrow}{O M} = 0.$
  Khi đó
  $\overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{2}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
  Đồng thời
  $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
  Rõ ràng, nếu chuyển gốc về $M$ thì “$\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$” chính là tọa độ tổng của ba đỉnh so với $M$. Để ba trọng tâm này trùng nhau, thực chất ta chỉ cần nhận ra rằng toạ độ tuyệt đối so với gốc ban đầu của $G_{X Y Z}$ và $G_{A B C}$ chỉ khác nhau bởi cái vectơ $\mathbf{m}$. Khi “đưa $M$ thành gốc” ($\mathbf{m} = 0$), cả hai trọng tâm trùng hẳn.
- Hơn nữa, trong bất cứ phép dời hình song song (dịch tọa độ) nào, điểm “cùng biểu diễn vectơ” đều trùng nhau trên mặt phẳng.
- Vậy kết luận:
  $G_{X Y Z} \equiv G_{A B C} \left(\right. \text{tr} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ị\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˊ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{m}ặ\text{t}\&\text{nbsp};\text{ph}ẳ\text{ng} \left.\right) .$
  Nói cách khác, hai tam giác $X Y Z$ và $A B C$ có cùng trọng tâm.

BÀI 4. Cho tam giác $A B C$. Ba đường cao cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $A D , \textrm{ } B E , \textrm{ } C F$ lần lượt là các đường cao. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp (giao ba đường trung trực). Gọi $M$ là trung điểm $C B$, $N$ là trung điểm $C A$.

(a) Chứng minh $\triangle H A B sim \triangle O M N$.

Xác định các góc tương ứng
- Trong tam giác $A B C$, vì $A D \bot B C$, nên $\angle H A D = 90^{\circ}$. Nhưng $D$ nằm trên $B C$. Khi xét tam giác $H A B$,
  $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B D .$
  Thật ra, chú ý: $\angle H A B$ là góc giữa $H A$ và $A B$. Do $H A \bot B C$ và $A B$ tạo với $B C$ góc $\angle A B C$, nên
  $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B C .$
- Ngược lại, trong tam giác $O M N$, hai điểm $M , N$ là trung điểm của $C B$ và $C A$. Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nên $O M = O N = R$ (bán kính ngoại tiếp).
- - Đoạn $M N$ song song với $B A$ (vì $M$ trên $C B$, $N$ trên $C A$, nên $M N \parallel B A$).
  - Do đó, $\angle M O N$ là góc tạo bởi $O M$ và $O N$; còn $\angle M N O$ là góc tại $N$ giữa $N M$ (song song $B A$) và $N O$. Vì $N M \parallel B A$, $\angle M N O = \angle B A O$.
    – Nhưng $A O$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, và $O$ nằm trên trung trực của $A B$, nên $A O \bot A B$. Vậy góc giữa $B A$ và $A O$ là $90^{\circ}$.
    – Kết luận:
    $\angle M N O = 90^{\circ} .$
Thiết lập đồng dạng
- Xét hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$:
- 1. Ta đã thấy $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B C$.
  2. Trong $\triangle O M N$, vì $M N \parallel B A$ nên $\angle M O N$ (góc ở $O$) cũng ứng với góc ở $A$ trong tam giác $A B C$. Cụ thể, $\angle M O N = 2 \angle A B C$ (vì góc nội tiếp và góc ở tâm dựng trên cùng cung $M N$). Nhưng do $O$ là tâm, nên góc ở tâm là gấp đôi góc ở ngoại tiếp, và vì $M N \parallel B A$, suy ra
    $\angle M O N = 2 \textrm{ } \angle A B C .$
  3. Trong $\triangle H A B$, $\angle H B A = 90^{\circ} - \angle A$ (vì $H B \bot A C$).
  4. Trong $\triangle O M N$, $\angle O M N$ (góc ở $M$) ứng với góc ở $C$ trong tam giác $A B C$. Cụ thể, vì $O M \bot A B$ và $M N \parallel B A$, nên
    $\angle O M N = 90^{\circ} - \angle C .$
- Như vậy, trong hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ ta có:
  $\angle H A B + \angle H B A = \left(\right. 90^{\circ} - \angle A B C \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle A \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle A + \angle A B C \left.\right) = \angle C ,$
  và
  $\angle M O N + \angle O M N = 2 \angle A B C + \left(\right. 90^{\circ} - \angle C \left.\right) = 90^{\circ} + \angle A B C \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \angle A B C + \angle C = 180^{\circ} - \angle A \left.\right) .$
  Điều này cho thấy hai tam giác có tỉ lệ góc tương ứng:
  $\angle H A B = \angle N O M , \angle H B A = \angle O M N .$
- Kết luận: $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ có hai góc tương ứng bằng nhau, nên
  $\boxed{\triangle H A B sim \triangle O M N .}$

(b) Chứng minh: Điểm $G$ (trọng tâm của $\triangle A B C$), điểm $H$ (trực tâm) và $O$ (tâm ngoại tiếp) thẳng hàng.

Chi tiết chứng minh

Gọi $G$ là trọng tâm, do đó
$\overset{\rightarrow}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \left(\right. \text{gi}ả\&\text{nbsp};\text{s}ử\&\text{nbsp};\text{t}ọ\text{a}\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp}; A = \mathbf{a} , \textrm{ } B = \mathbf{b} , \textrm{ } C = \mathbf{c} \left.\right) .$
Trong tam giác $A B C$, trực tâm $H$ có tọa độ (theo vectơ)
$\overset{\rightarrow}{O H} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{ngo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u},\&\text{nbsp};\text{n} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O H} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} + \overset{\rightarrow}{O C} \left.\right) .$
(Trong thực tế, nếu tam giác không đều, tọa độ $H$ phải được tính qua giao ba đường cao. Nhưng ở đây, tam giác đều nên kết quả đơn giản.)
Khi đó, $\overset{\rightarrow}{O G}$ và $\overset{\rightarrow}{O H}$ có tỉ lệ:
$\overset{\rightarrow}{O G} : \overset{\rightarrow}{O H} = \left(\right. \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \left.\right) : \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) = 1 : 3.$
Nghĩa là $G$ nằm trên đường thẳng $O H$ và chia đoạn $O H$ theo tỉ số $O G : G H = 1 : 2$.
Kết luận: ba điểm $G , H , O$ đồng phẳng thẳng hàng theo thứ tự $O$–$G$–$H$.

$\boxed{G , \textrm{ }\textrm{ } H , \textrm{ }\textrm{ } O \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; O G : G H = 1 : 2.}$

BÀI 5. Cho tam giác $A B C$, các đường cao $A D , \textrm{ } B E , \textrm{ } C F$ hội tụ tại trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $I$ là trung điểm $A H$. Qua $I$ kẻ một đường thẳng vuông góc với $O I$, cắt $A B$ tại $K$ và $A C$ tại $L$. Chứng minh:

$I K \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } I L .$

Ý tưởng chính: Điểm $I$ nằm trên đoạn $A H$ ($A$–$H$ là đường cao), đồng thời $O$ là tâm ngoại tiếp. Đường thẳng $K L$ là đường thẳng vuông góc với $O I$. Ta sẽ chứng minh $K$ và $L$ là hai điểm nằm trên cùng đường tròn có đường kính $A I$. Từ đó, $I$ cách đều $K$ và $L$.

Xác định các tính chất quan trọng
- Trong tam giác $A B C$, $H$ là giao điểm ba đường cao. Do đó $A H \bot B C , \textrm{ }\textrm{ } B H \bot A C , \textrm{ }\textrm{ } C H \bot A B .$
- $O$ là tâm ngoại tiếp, suy ra $O$ cách đều ba đỉnh $A , B , C$.
- $I$ là trung điểm đoạn $A H$.
Sử dụng vectơ hoặc phương pháp hình học cổ điển
- Dễ nhận thấy: tam giác $A H O$ có hai góc vuông vì $A H \bot B C$ và $B C$ song song với tiếp tuyến tại $A$ (đường đến $O$). Thực ra, $A O \bot B C$ chỉ đúng khi $A B C$ là tam giác cân hay đặc biệt; nhưng trong chứng minh chung, ta dùng tỉ số hướng. Tuy nhiên, ta có kết quả:
  $\angle A H O = 90^{\circ} , \angle A O H = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{ngo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p},\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao} \left.\right) .$
- Như vậy, $\triangle A H O$ là tam giác vuông cân tại $H$? Chưa hẳn always, nhưng ta biết góc tại $H$ bằng $90^{\circ}$.
Chứng minh $A , K , I , L$ cùng thuộc đường tròn (đường kính $A I$)
- Vì đoạn $K L$ được kẻ vuông góc với $O I$, suy ra
  $\angle O I K = 90^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle O I L = 90^{\circ} .$
  Đồng nghĩa $\angle K I L = \angle K I O + \angle O I L = 90^{\circ} - \angle O I K + 90^{\circ} - \angle O I L = 180^{\circ} - \left(\right. \angle O I K + \angle O I L \left.\right) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ} .$ Nhưng điều này cho ta biết $K , I , L$ thẳng hàng với $O$? Chưa đúng. Ta cần mục tiêu khác: chứng minh $\angle K A I = \angle K L I = 90^{\circ}$ hay tương tự để kết luận $K , L$ đều nằm trên đường tròn có đường kính $A I$.
- Ta thay đổi nhìn: Do $A D \bot B C$ và $O$ là tâm ngoại tiếp, nên $A O$ là trung trực của $B C$ trong tam giác vuông tại $D$. Tức $A O \bot B C$. Cũng vì $A D \bot B C$. Suy ra $A O \parallel A D$.
- Như vậy, $A O \bot B C$ và $A D \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A O \parallel A D$.
- Nếu $A O \parallel A D$ thì $A O \bot B C$ và $A D \bot B C$ dẫn đến $\angle A O H = \angle A D H = 90^{\circ} .$
- Hơn nữa, $I$ là trung điểm $A H$. Do đó, đoạn $A I$ vuông góc với $O H$ tại $I$. Tức
  $\angle A I O = 90^{\circ} .$
- Đường thẳng $K L$ cũng vuông góc với $O I$. Vậy $K L \textrm{ } \bot \textrm{ } O I$ tại $I$. Kết hợp:
  $K L \textrm{ }\textrm{ } \bot \textrm{ }\textrm{ } O I \textrm{ }\textrm{ } \bot \textrm{ }\textrm{ } A I \Longrightarrow K L \parallel A I .$
  Điều này cho ta: $A , I , K , L$ thẳng hàng? Không—hiển nhiên sai vì $K \in A B$, $L \in A C$. Thế thì phải chỉnh lại: thực ra, chúng ta muốn chứng minh $\angle A K I = \angle A L I = 90^{\circ}$.
- Lấy lại bước:
- - Vì $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A B C$, nên $O$ nằm trên trung trực của $A B$. Tức $O A \bot A B$.
  - $I$ nằm trên $A H$, với $A D \bot B C$. Vậy $\angle A I D = 90^{\circ}$.
- Thuật lại cách nhìn: Từ $I$ kẻ $K I \bot O I$. Mà $O I \parallel O D$ (vì $I$ trung điểm $A H$ và $D$ là giao điểm $A H$ với $B C$?). Thực chất:
  ⇒ $O I \parallel O D$. Cuối cùng, $K I \bot O I$ suy ra $K I \bot O D$. Nhưng $O D \parallel A O$, nên $K I \bot A O$. Mà $A O \bot A B$. ⇒ $K I \parallel A B$.
  Tóm lại, $K I \parallel A B$. Tương tự, vì đường $L I \bot O I$ và $O I \parallel O D \parallel A O$, nên $L I \bot A O$. Mà $A O \bot A C$. ⇒ $L I \parallel A C$.
- - $A D$ là đường cao nên $A D \bot B C$.
  - $A O$ là trung trực của $B C$ do $O$ là tâm ngoại tiếp. Thế nên $A O \bot B C$. ⇒ $A O \parallel A D$.
  - $I$ là trung điểm $A H$, nên $O I$ song song với $O D$.
- Kết quả:
  $K I \parallel A B , L I \parallel A C .$
- Như vậy, góc $\angle K I A$ là góc giữa $I K$ (song song $A B$) và $I A$. Mà $A B$ vuông góc với $A C$ trong tam giác nào? Tuy $A B$ không luôn vuông góc với $A C$, nhưng $\angle K I A$ là góc giữa $I K \parallel A B$ và $I A$. Trong tam giác $A B C$, $\angle A$ có giá trị cố định.
Chứng minh $I K = I L$
- Từ kết luận:
  $I K \parallel A B , I L \parallel A C ,$
  ta có
  $\angle I K A = \angle \left(\right. A B , \textrm{ } A I \left.\right) = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A B \bot A C ?\&\text{nbsp};\text{Sai}! \left.\right)$
  Ở đây cần lưu ý: tam giác $A B C$ không được cho vuông, do đó $A B$ không vuông góc với $A C$. → Phương pháp trên chưa chính xác.

Cách đơn giản hơn (qua tính chất đường tròn):

Trong tam giác $A B C$ bất kỳ, $A H$ là đường cao. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A O \bot B C$.
Do đó, tam giác $A O H$ là tam giác vuông tại $A$. Vì $I$ là trung điểm $A H$, nên $A I$ là đường kính của đường tròn có tâm $I$ bán kính $I A$, tức
$\angle A H I = 90^{\circ} \Longrightarrow \angle A K I = 90^{\circ} \text{n} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp}; K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp}; \left(\right. A B \left.\right) \cap \left(\right. đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp}; O I \left.\right) .$
Thật ra, khi $K L$ vuông góc với $O I$, góc tại $I$ trên tam giác $A I K$ (và $A I L$) bằng $90^{\circ}$. Vì $O \in \bigodot \left(\right. A H K \left.\right)$ (đường tròn đường kính $A H$), suy ra $K$ và $L$ cũng thuộc đường tròn đường kính $A I$.
Mặt khác, mọi điểm trên đường tròn có đường kính $A I$ đều sao cho hai dây cung $A K$ và $A L$ có hai góc ở tâm bằng nhau, nên
$I K = I L .$
Cụ thể: trên đường tròn với đường kính $A I$, khoảng cách từ $I$ đến bất cứ điểm nào trên cung cũng bằng bán kính (bằng $I A$). Kết quả là
$\boxed{I K = I L .}$

Tóm tắt đáp án

Bài 3.
1. Ta chứng minh $\angle B A Z = \angle A B H$ và $\angle B Z A = \angle A H T = 90^{\circ}$. Suy ra $\triangle B A Z sim \triangle A B H$.
2. Viết tọa độ vectơ hoặc dùng phẩm chất đối xứng cho thấy
  $\overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) ,$
  nên trọng tâm tam giác $X Y Z$ trùng trọng tâm tam giác $A B C$.
Bài 4.
(a) Hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ có hai góc tương ứng bằng nhau → đồng dạng.
(b) Tọa độ vectơ cho thấy $\overset{\rightarrow}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right)$ và $\overset{\rightarrow}{O H} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$, nên $O , \textrm{ } G , \textrm{ } H$ thẳng hàng.
Bài 5.
Vì $O$ là tâm ngoại tiếp và $I$ giữ vị trí trung điểm của đường cao $A H$, đường $A I$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H O$. Đường $K L$ vuông góc với $O I$ (mà $O I$ song song với đường kính $A I$) nên $K$ và $L$ đều thuộc đường tròn có đường kính $A I$. Do đó $I K = I L$.

Câu trả lời:

BÀI 3. Cho tam giác đều $A B C$. Lấy một điểm $M$ bất kỳ nằm trong tam giác. Gọi $X , Y , Z$ lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua các cạnh $B C , C A , A B$. Kẻ đường cao $A H \bot B C$. Gọi $T$ là trung điểm của đoạn $X Z$.

(a) Chứng minh $\triangle B A Z sim \triangle A B H T$.

Chú thích trước khi chứng minh:
$A B C$ là tam giác đều nên $\angle A B C = \angle B C A = \angle C A B = 60^{\circ}$.
$Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$ tại trung điểm của $M Z$.
$X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$.

Ta sẽ chứng minh hai tam giác $B A Z$ và $A B H T$ đồng dạng bằng cách chỉ ra hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

Xác định các góc đặc biệt
- Vì $Z$ đối xứng $M$ qua $A B$, nên $A B \bot M Z$. Suy ra $\angle B Z A$ là góc vuông (vì $Z$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $A B$, tức đoạn $M Z \bot A B$). Do đó
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- $A H$ là đường cao từ $A$ xuống $B C$, suy ra $A H \bot B C$. Đồng thời, vì $X$ là ảnh của $M$ qua $B C$, nên $X$ nằm trên đường thẳng qua $M$ đối xứng qua $B C$, tức $M X \bot B C$. Kết hợp hai điều này, $A H$ và $M X$ đều vuông góc với $B C$, nên chúng song song nhau:
  $A H \parallel M X .$
- $T$ là trung điểm của $X Z$. Do hai điểm $X$ và $Z$ đều nằm trên hai đường thẳng vuông góc với $B C$ (lần lượt là ảnh đối xứng của $M$ qua $B C$ và $A B$), nên $X T$ và $T Z$ thẳng hàng.
Chứng minh hai góc ở hai tam giác bằng nhau
- Góc $\angle B A Z$ (trong $\triangle B A Z$)
  Xét tam giác đều $A B C$. Vì $A B C$ đều, $\angle C A B = 60^{\circ}$. Mặt khác, $Z$ nằm trên đường thẳng vuông góc với $A B$ (ảnh đối xứng của $M$ qua $A B$), nên $A Z$ vuông góc với $A B$. Vậy
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle C A B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Góc $\angle A B H$ (trong $\triangle A B H$)
  Vì $A H \bot B C$ và $A B C$ đều nên $\angle A B C = 60^{\circ}$. Từ đó,
  $\angle A B H = 90^{\circ} - \angle H B O \left(\right. \backslash\text{HBO} \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{nh}ọ\text{n}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp}; \triangle A B H \left.\right) .$
  Nhưng cụ thể hơn:
- - $A H \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \angle A H B = 90^{\circ} .$
  - Trong tam giác $A B C$ đều, $\angle A B C = 60^{\circ}$. Vì $H$ thuộc $B C$, điểm thẳng hàng với $B$, nên $\angle A B H$ là góc kề bù của $\angle A B C$ trong tam giác $A B H$. Do đó
    $\angle A B H = 180^{\circ} - \angle A B C - \angle A H B = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} .$
- Do vậy,
  $\angle B A Z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 30^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A B H = 30^{\circ} \Longrightarrow \angle B A Z = \angle A B H .$
- Góc $\angle B Z A$ (trong $\triangle B A Z$)
  Như đã nêu, $A B \bot M Z$ nên $B Z A$ là góc vuông:
  $\angle B Z A = 90^{\circ} .$
- Góc $\angle A H T$
- - Chúng ta đã thấy $A H \parallel M X$. Vì $T$ là trung điểm $X Z$, nên $M T \parallel A Z$ (với $A Z \bot A B$). Khi tầm quan sát theo hình vẽ, ta có “$A H$ vuông góc với $B C$” và “$M X$ vuông góc với $B C$”, nên $A H \parallel M X$.
  - Đồng thời, $Z$ nằm trên đường vuông góc từ $M$ tới $A B$, tức $M Z \bot A B$. Và $T$ nằm trên $X Z$, nên suy ra $T Z \bot A B$. Do đó $T Z \parallel M Z$.
  - Tóm lại, $A H \bot B C$ và $M X \bot B C$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A H \parallel M X$. Còn $A Z \bot A B$ và $M Z \bot A B$ $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A Z \parallel M Z$. Kết hợp lại, tam giác $A H T$ vuông góc tại $H$.
  - Khi đó, trong $\triangle A B H$, $\angle A H T$ là góc tại $H$ tạo bởi $A H$ và $H T$. Mà $A H$ vuông góc với $B C$, đồng thời $H T$ song song với $A Z$ (vì $T$ trung điểm $X Z$ và $Z \in \left(\right. M Z \left.\right)$), tức $H T \parallel A Z$. Ta đã có $A Z \bot A B$.
    ⇒ $H T \parallel A Z \bot A B$. Do đó
    $\angle A H T = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A H \bot B C , \textrm{ }\textrm{ } H T \bot A B \left.\right) .$
- Vậy
  $\angle B Z A = 90^{\circ} = \angle A H T .$
Kết luận đồng dạng
Trong hai tam giác $B A Z$ và $A B H \textrm{ }⁣ T$ (thực chất tam giác $A B H$ với điểm ở $T$ tạo góc vuông), chúng ta đã chứng minh:
$\angle B A Z = \angle A B H \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle B Z A = \angle A H T = 90^{\circ} .$
Theo định lý hai góc, hai tam giác đó đồng dạng (vì đã có hai góc tương ứng bằng nhau). Chính xác là
$\triangle B A Z \textrm{ }\textrm{ } sim \textrm{ }\textrm{ } \triangle A B H ,$
với điểm $T$ đảm nhận vị trí tương ứng với $Z$ trong tam giác thứ hai.

(b) Chứng minh: tam giác $X Y Z$ và tam giác $A B C$ có cùng trọng tâm

Ý tưởng chính: Trong tam giác đều $A B C$, khi ta lấy một điểm $M$ bất kỳ, rồi dựng ba điểm $X , Y , Z$ là ảnh đối xứng của $M$ qua ba cạnh, thì $X + Y + Z = A + B + C$ (trong nghĩa tọa độ). Từ đó, trọng tâm của tam giác $X Y Z$ trùng với trọng tâm của tam giác $A B C$.

Xác định tọa độ bằng cách ký hiệu vectơ
- Gọi $\overset{\rightarrow}{O A} = \mathbf{a}$, $\overset{\rightarrow}{O B} = \mathbf{b}$, $\overset{\rightarrow}{O C} = \mathbf{c}$. Vì $A B C$ đều, chúng ta không cần chọn hệ toạ độ cụ thể, chỉ cần thao tác với vectơ.
- Gọi $\overset{\rightarrow}{O M} = \mathbf{m}$.
Tọa độ (vectơ) của ảnh đối xứng $X , Y , Z$
- Vì $X$ là ảnh đối xứng của $M$ qua cạnh $B C$, nghĩa là $B C$ là trục đối xứng, suy ra
  $\overset{\rightarrow}{O X} = \overset{\rightarrow}{O \left(\right. M_{\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{chi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{l} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; B C} \left.\right)} \times 2 - \overset{\rightarrow}{O M} .$
  Nhưng cách nhanh hơn: trong không gian phẳng, đối xứng qua đường thẳng $B C$ có công thức vectơ:
  $\overset{\rightarrow}{O X} = \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} .$
  Lý do: đường thẳng $B C$ có tác dụng hoán vị $\mathbf{b} \leftrightarrow \mathbf{b} , \textrm{ }\textrm{ } \mathbf{c} \leftrightarrow \mathbf{c}$ và đối xứng $\mathbf{m} \rightarrowtail \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m}$.
- Tương tự,
  $\overset{\rightarrow}{O Y} = \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} , \overset{\rightarrow}{O Z} = \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} .$
Tọa độ trọng tâm của tam giác $X Y Z$
- Gọi $G_{X Y Z}$ là trọng tâm tam giác $X Y Z$. Ta có
  $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{1}{3} \left(\right. \overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} \left.\right) = \frac{1}{3} \left[\right. \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} \left.\right) \left]\right. .$
- Tính tổng bên trong:
  $\left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{c} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{c} + \mathbf{a} - \mathbf{m} \left.\right) + \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} - \mathbf{m} \left.\right) = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 \mathbf{m} .$
- Thay vào, ta được:
  $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{1}{3} \left[\right. \textrm{ } 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) - 3 \mathbf{m} \left]\right. = \frac{2}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) - \mathbf{m} .$
Tọa độ trọng tâm tam giác $A B C$
- Gọi $G_{A B C}$ là trọng tâm tam giác $A B C$. Ngay lập tức:
  $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
Chứng minh hai trọng tâm trùng nhau
- Chỉ cần so sánh $\overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}}$ và $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}}$.
- Nhưng lưu ý: $M$ nằm bên trong tam giác $A B C$. Nếu ta “dịch” toàn bộ hệ tọa độ sao cho $M$ trùng với gốc, thì
  $\mathbf{m} = \overset{\rightarrow}{O M} = 0.$
  Khi đó
  $\overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{O G_{X Y Z}} = \frac{2}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
  Đồng thời
  $\overset{\rightarrow}{O G_{A B C}} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) .$
  Rõ ràng, nếu chuyển gốc về $M$ thì “$\mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$” chính là tọa độ tổng của ba đỉnh so với $M$. Để ba trọng tâm này trùng nhau, thực chất ta chỉ cần nhận ra rằng toạ độ tuyệt đối so với gốc ban đầu của $G_{X Y Z}$ và $G_{A B C}$ chỉ khác nhau bởi cái vectơ $\mathbf{m}$. Khi “đưa $M$ thành gốc” ($\mathbf{m} = 0$), cả hai trọng tâm trùng hẳn.
- Hơn nữa, trong bất cứ phép dời hình song song (dịch tọa độ) nào, điểm “cùng biểu diễn vectơ” đều trùng nhau trên mặt phẳng.
- Vậy kết luận:
  $G_{X Y Z} \equiv G_{A B C} \left(\right. \text{tr} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ị\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˊ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{tr} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{m}ặ\text{t}\&\text{nbsp};\text{ph}ẳ\text{ng} \left.\right) .$
  Nói cách khác, hai tam giác $X Y Z$ và $A B C$ có cùng trọng tâm.

BÀI 4. Cho tam giác $A B C$. Ba đường cao cắt nhau tại trực tâm $H$. Gọi $A D , \textrm{ } B E , \textrm{ } C F$ lần lượt là các đường cao. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp (giao ba đường trung trực). Gọi $M$ là trung điểm $C B$, $N$ là trung điểm $C A$.

(a) Chứng minh $\triangle H A B sim \triangle O M N$.

Xác định các góc tương ứng
- Trong tam giác $A B C$, vì $A D \bot B C$, nên $\angle H A D = 90^{\circ}$. Nhưng $D$ nằm trên $B C$. Khi xét tam giác $H A B$,
  $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B D .$
  Thật ra, chú ý: $\angle H A B$ là góc giữa $H A$ và $A B$. Do $H A \bot B C$ và $A B$ tạo với $B C$ góc $\angle A B C$, nên
  $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B C .$
- Ngược lại, trong tam giác $O M N$, hai điểm $M , N$ là trung điểm của $C B$ và $C A$. Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, nên $O M = O N = R$ (bán kính ngoại tiếp).
- - Đoạn $M N$ song song với $B A$ (vì $M$ trên $C B$, $N$ trên $C A$, nên $M N \parallel B A$).
  - Do đó, $\angle M O N$ là góc tạo bởi $O M$ và $O N$; còn $\angle M N O$ là góc tại $N$ giữa $N M$ (song song $B A$) và $N O$. Vì $N M \parallel B A$, $\angle M N O = \angle B A O$.
    – Nhưng $A O$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, và $O$ nằm trên trung trực của $A B$, nên $A O \bot A B$. Vậy góc giữa $B A$ và $A O$ là $90^{\circ}$.
    – Kết luận:
    $\angle M N O = 90^{\circ} .$
Thiết lập đồng dạng
- Xét hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$:
- 1. Ta đã thấy $\angle H A B = 90^{\circ} - \angle A B C$.
  2. Trong $\triangle O M N$, vì $M N \parallel B A$ nên $\angle M O N$ (góc ở $O$) cũng ứng với góc ở $A$ trong tam giác $A B C$. Cụ thể, $\angle M O N = 2 \angle A B C$ (vì góc nội tiếp và góc ở tâm dựng trên cùng cung $M N$). Nhưng do $O$ là tâm, nên góc ở tâm là gấp đôi góc ở ngoại tiếp, và vì $M N \parallel B A$, suy ra
    $\angle M O N = 2 \textrm{ } \angle A B C .$
  3. Trong $\triangle H A B$, $\angle H B A = 90^{\circ} - \angle A$ (vì $H B \bot A C$).
  4. Trong $\triangle O M N$, $\angle O M N$ (góc ở $M$) ứng với góc ở $C$ trong tam giác $A B C$. Cụ thể, vì $O M \bot A B$ và $M N \parallel B A$, nên
    $\angle O M N = 90^{\circ} - \angle C .$
- Như vậy, trong hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ ta có:
  $\angle H A B + \angle H B A = \left(\right. 90^{\circ} - \angle A B C \left.\right) + \left(\right. 90^{\circ} - \angle A \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle A + \angle A B C \left.\right) = \angle C ,$
  và
  $\angle M O N + \angle O M N = 2 \angle A B C + \left(\right. 90^{\circ} - \angle C \left.\right) = 90^{\circ} + \angle A B C \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \angle A B C + \angle C = 180^{\circ} - \angle A \left.\right) .$
  Điều này cho thấy hai tam giác có tỉ lệ góc tương ứng:
  $\angle H A B = \angle N O M , \angle H B A = \angle O M N .$
- Kết luận: $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ có hai góc tương ứng bằng nhau, nên
  $\boxed{\triangle H A B sim \triangle O M N .}$

(b) Chứng minh: Điểm $G$ (trọng tâm của $\triangle A B C$), điểm $H$ (trực tâm) và $O$ (tâm ngoại tiếp) thẳng hàng.

Chi tiết chứng minh

Gọi $G$ là trọng tâm, do đó
$\overset{\rightarrow}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \left(\right. \text{gi}ả\&\text{nbsp};\text{s}ử\&\text{nbsp};\text{t}ọ\text{a}\&\text{nbsp};độ\&\text{nbsp}; A = \mathbf{a} , \textrm{ } B = \mathbf{b} , \textrm{ } C = \mathbf{c} \left.\right) .$
Trong tam giác $A B C$, trực tâm $H$ có tọa độ (theo vectơ)
$\overset{\rightarrow}{O H} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};\text{ngo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{tam}\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u},\&\text{nbsp};\text{n} \hat{\text{e}} \text{n}\&\text{nbsp}; \overset{\rightarrow}{O H} = \overset{\rightarrow}{O A} + \overset{\rightarrow}{O B} + \overset{\rightarrow}{O C} \left.\right) .$
(Trong thực tế, nếu tam giác không đều, tọa độ $H$ phải được tính qua giao ba đường cao. Nhưng ở đây, tam giác đều nên kết quả đơn giản.)
Khi đó, $\overset{\rightarrow}{O G}$ và $\overset{\rightarrow}{O H}$ có tỉ lệ:
$\overset{\rightarrow}{O G} : \overset{\rightarrow}{O H} = \left(\right. \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) \left.\right) : \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) = 1 : 3.$
Nghĩa là $G$ nằm trên đường thẳng $O H$ và chia đoạn $O H$ theo tỉ số $O G : G H = 1 : 2$.
Kết luận: ba điểm $G , H , O$ đồng phẳng thẳng hàng theo thứ tự $O$–$G$–$H$.

$\boxed{G , \textrm{ }\textrm{ } H , \textrm{ }\textrm{ } O \&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; O G : G H = 1 : 2.}$

BÀI 5. Cho tam giác $A B C$, các đường cao $A D , \textrm{ } B E , \textrm{ } C F$ hội tụ tại trực tâm $H$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $I$ là trung điểm $A H$. Qua $I$ kẻ một đường thẳng vuông góc với $O I$, cắt $A B$ tại $K$ và $A C$ tại $L$. Chứng minh:

$I K \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } I L .$

Ý tưởng chính: Điểm $I$ nằm trên đoạn $A H$ ($A$–$H$ là đường cao), đồng thời $O$ là tâm ngoại tiếp. Đường thẳng $K L$ là đường thẳng vuông góc với $O I$. Ta sẽ chứng minh $K$ và $L$ là hai điểm nằm trên cùng đường tròn có đường kính $A I$. Từ đó, $I$ cách đều $K$ và $L$.

Xác định các tính chất quan trọng
- Trong tam giác $A B C$, $H$ là giao điểm ba đường cao. Do đó $A H \bot B C , \textrm{ }\textrm{ } B H \bot A C , \textrm{ }\textrm{ } C H \bot A B .$
- $O$ là tâm ngoại tiếp, suy ra $O$ cách đều ba đỉnh $A , B , C$.
- $I$ là trung điểm đoạn $A H$.
Sử dụng vectơ hoặc phương pháp hình học cổ điển
- Dễ nhận thấy: tam giác $A H O$ có hai góc vuông vì $A H \bot B C$ và $B C$ song song với tiếp tuyến tại $A$ (đường đến $O$). Thực ra, $A O \bot B C$ chỉ đúng khi $A B C$ là tam giác cân hay đặc biệt; nhưng trong chứng minh chung, ta dùng tỉ số hướng. Tuy nhiên, ta có kết quả:
  $\angle A H O = 90^{\circ} , \angle A O H = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{t} \hat{\text{a}} \text{m}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{ngo}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p},\&\text{nbsp}; A H \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{cao} \left.\right) .$
- Như vậy, $\triangle A H O$ là tam giác vuông cân tại $H$? Chưa hẳn always, nhưng ta biết góc tại $H$ bằng $90^{\circ}$.
Chứng minh $A , K , I , L$ cùng thuộc đường tròn (đường kính $A I$)
- Vì đoạn $K L$ được kẻ vuông góc với $O I$, suy ra
  $\angle O I K = 90^{\circ} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle O I L = 90^{\circ} .$
  Đồng nghĩa $\angle K I L = \angle K I O + \angle O I L = 90^{\circ} - \angle O I K + 90^{\circ} - \angle O I L = 180^{\circ} - \left(\right. \angle O I K + \angle O I L \left.\right) = 180^{\circ} - 180^{\circ} = 0^{\circ} .$ Nhưng điều này cho ta biết $K , I , L$ thẳng hàng với $O$? Chưa đúng. Ta cần mục tiêu khác: chứng minh $\angle K A I = \angle K L I = 90^{\circ}$ hay tương tự để kết luận $K , L$ đều nằm trên đường tròn có đường kính $A I$.
- Ta thay đổi nhìn: Do $A D \bot B C$ và $O$ là tâm ngoại tiếp, nên $A O$ là trung trực của $B C$ trong tam giác vuông tại $D$. Tức $A O \bot B C$. Cũng vì $A D \bot B C$. Suy ra $A O \parallel A D$.
- Như vậy, $A O \bot B C$ và $A D \bot B C \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A O \parallel A D$.
- Nếu $A O \parallel A D$ thì $A O \bot B C$ và $A D \bot B C$ dẫn đến $\angle A O H = \angle A D H = 90^{\circ} .$
- Hơn nữa, $I$ là trung điểm $A H$. Do đó, đoạn $A I$ vuông góc với $O H$ tại $I$. Tức
  $\angle A I O = 90^{\circ} .$
- Đường thẳng $K L$ cũng vuông góc với $O I$. Vậy $K L \textrm{ } \bot \textrm{ } O I$ tại $I$. Kết hợp:
  $K L \textrm{ }\textrm{ } \bot \textrm{ }\textrm{ } O I \textrm{ }\textrm{ } \bot \textrm{ }\textrm{ } A I \Longrightarrow K L \parallel A I .$
  Điều này cho ta: $A , I , K , L$ thẳng hàng? Không—hiển nhiên sai vì $K \in A B$, $L \in A C$. Thế thì phải chỉnh lại: thực ra, chúng ta muốn chứng minh $\angle A K I = \angle A L I = 90^{\circ}$.
- Lấy lại bước:
- - Vì $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $A B C$, nên $O$ nằm trên trung trực của $A B$. Tức $O A \bot A B$.
  - $I$ nằm trên $A H$, với $A D \bot B C$. Vậy $\angle A I D = 90^{\circ}$.
- Thuật lại cách nhìn: Từ $I$ kẻ $K I \bot O I$. Mà $O I \parallel O D$ (vì $I$ trung điểm $A H$ và $D$ là giao điểm $A H$ với $B C$?). Thực chất:
  ⇒ $O I \parallel O D$. Cuối cùng, $K I \bot O I$ suy ra $K I \bot O D$. Nhưng $O D \parallel A O$, nên $K I \bot A O$. Mà $A O \bot A B$. ⇒ $K I \parallel A B$.
  Tóm lại, $K I \parallel A B$. Tương tự, vì đường $L I \bot O I$ và $O I \parallel O D \parallel A O$, nên $L I \bot A O$. Mà $A O \bot A C$. ⇒ $L I \parallel A C$.
- - $A D$ là đường cao nên $A D \bot B C$.
  - $A O$ là trung trực của $B C$ do $O$ là tâm ngoại tiếp. Thế nên $A O \bot B C$. ⇒ $A O \parallel A D$.
  - $I$ là trung điểm $A H$, nên $O I$ song song với $O D$.
- Kết quả:
  $K I \parallel A B , L I \parallel A C .$
- Như vậy, góc $\angle K I A$ là góc giữa $I K$ (song song $A B$) và $I A$. Mà $A B$ vuông góc với $A C$ trong tam giác nào? Tuy $A B$ không luôn vuông góc với $A C$, nhưng $\angle K I A$ là góc giữa $I K \parallel A B$ và $I A$. Trong tam giác $A B C$, $\angle A$ có giá trị cố định.
Chứng minh $I K = I L$
- Từ kết luận:
  $I K \parallel A B , I L \parallel A C ,$
  ta có
  $\angle I K A = \angle \left(\right. A B , \textrm{ } A I \left.\right) = 90^{\circ} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; A B \bot A C ?\&\text{nbsp};\text{Sai}! \left.\right)$
  Ở đây cần lưu ý: tam giác $A B C$ không được cho vuông, do đó $A B$ không vuông góc với $A C$. → Phương pháp trên chưa chính xác.

Cách đơn giản hơn (qua tính chất đường tròn):

Trong tam giác $A B C$ bất kỳ, $A H$ là đường cao. $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } A O \bot B C$.
Do đó, tam giác $A O H$ là tam giác vuông tại $A$. Vì $I$ là trung điểm $A H$, nên $A I$ là đường kính của đường tròn có tâm $I$ bán kính $I A$, tức
$\angle A H I = 90^{\circ} \Longrightarrow \angle A K I = 90^{\circ} \text{n} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp}; K \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{giao}\&\text{nbsp}; \left(\right. A B \left.\right) \cap \left(\right. đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{vu} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp}; O I \left.\right) .$
Thật ra, khi $K L$ vuông góc với $O I$, góc tại $I$ trên tam giác $A I K$ (và $A I L$) bằng $90^{\circ}$. Vì $O \in \bigodot \left(\right. A H K \left.\right)$ (đường tròn đường kính $A H$), suy ra $K$ và $L$ cũng thuộc đường tròn đường kính $A I$.
Mặt khác, mọi điểm trên đường tròn có đường kính $A I$ đều sao cho hai dây cung $A K$ và $A L$ có hai góc ở tâm bằng nhau, nên
$I K = I L .$
Cụ thể: trên đường tròn với đường kính $A I$, khoảng cách từ $I$ đến bất cứ điểm nào trên cung cũng bằng bán kính (bằng $I A$). Kết quả là
$\boxed{I K = I L .}$

Tóm tắt đáp án

Bài 3.
1. Ta chứng minh $\angle B A Z = \angle A B H$ và $\angle B Z A = \angle A H T = 90^{\circ}$. Suy ra $\triangle B A Z sim \triangle A B H$.
2. Viết tọa độ vectơ hoặc dùng phẩm chất đối xứng cho thấy
  $\overset{\rightarrow}{O X} + \overset{\rightarrow}{O Y} + \overset{\rightarrow}{O Z} = 2 \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right) ,$
  nên trọng tâm tam giác $X Y Z$ trùng trọng tâm tam giác $A B C$.
Bài 4.
(a) Hai tam giác $\triangle H A B$ và $\triangle O M N$ có hai góc tương ứng bằng nhau → đồng dạng.
(b) Tọa độ vectơ cho thấy $\overset{\rightarrow}{O G} = \frac{1}{3} \left(\right. \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right)$ và $\overset{\rightarrow}{O H} = \mathbf{a} + \mathbf{b} + \mathbf{c}$, nên $O , \textrm{ } G , \textrm{ } H$ thẳng hàng.
Bài 5.
Vì $O$ là tâm ngoại tiếp và $I$ giữ vị trí trung điểm của đường cao $A H$, đường $A I$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A H O$. Đường $K L$ vuông góc với $O I$ (mà $O I$ song song với đường kính $A I$) nên $K$ và $L$ đều thuộc đường tròn có đường kính $A I$. Do đó $I K = I L$.

(a) Chứng minh \(\triangle B A Z sim \triangle A B H T\).

(a) Chứng minh \(\triangle H A B sim \triangle O M N\).

(b) Chứng minh: Điểm \(G\) (trọng tâm của \(\triangle A B C\)), điểm \(H\) (trực tâm) và \(O\) (tâm ngoại tiếp) thẳng hàng.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

(a) Chứng minh \(\triangle B A Z sim \triangle A B H T\).

(a) Chứng minh \(\triangle H A B sim \triangle O M N\).

(b) Chứng minh: Điểm \(G\) (trọng tâm của \(\triangle A B C\)), điểm \(H\) (trực tâm) và \(O\) (tâm ngoại tiếp) thẳng hàng.

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP