Question

[Thu Phương Đỗ]

Answer 1

[Gia Bao]

Đề bài: Một khối lập phương cạnh bằng \(1\) m được đổ đầy nước. Người ta đặt khối nón sao cho

• Đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt trên của khối lập phương,
• Mặt đáy khối nón nằm trong mặt đáy đối diện và tiếp xúc với bốn cạnh của mặt đáy.
  Lấy \(\pi = 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

a) Tính thể tích lượng nước tràn ra ngoài khi đặt khối nón vào.
b) Tính diện tích xung quanh của khối nón.

---

Chọn hệ quy chiếu và xác định kích thước khối nón

• Gọi khối lập phương \(A B C D \textrm{ } – \textrm{ } E F G H\) có cạnh \(A B = 1\) m, với mặt đáy \(A B C D\) và mặt trên \(E F G H\).
• Giả sử toạ độ:
• • Mặt đáy \(A B C D\) nằm trên tọa độ \(z = 0\).
  • Mặt trên \(E F G H\) nằm trên \(z = 1\).
• Đỉnh khối nón (\(S\)) đặt tại tâm của mặt trên \(E F G H\). Tâm mặt trên là \(\left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 1 \left.\right)\).
• Đáy khối nón nằm trong mặt đáy \(A B C D\) (hình vuông cạnh 1), và “tiếp xúc với 4 cạnh của mặt đáy” có nghĩa là hình tròn đáy khối nón là vòng tròn nội tiếp hình vuông \(A B C D\).
• • Hình vuông \(A B C D\) có toạ độ bốn đỉnh \(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 1 , 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\).
  • Vòng tròn nội tiếp hình vuông đó có tâm \(\left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 0 \left.\right)\) và bán kính \(r = \frac{1}{2}\).

→ Chiều cao khối nón \(h\) là khoảng cách từ đỉnh \(S \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 1 \left.\right)\) xuống mặt đáy \(z = 0\), tức

\(h = 1 \left(\right. \text{m} \left.\right) .\)

→ Bán kính đáy \(r = \frac{1}{2}\) m.

---

a) Thể tích lượng nước tràn ra ngoài

1. Thể tích khối lập phương:
   \(V_{\text{l}ậ\text{p}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}} = 1^{3} = 1 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
2. Thể tích khối nón:
   \(V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r^{2} \textrm{ } h = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} \times 1 = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{12} .\)
   Thay \(\pi = 3,14\):
   \(V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = \frac{3,14}{12} \approx 0,2617 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
3. Lượng nước tràn ra
   Bởi vì khối lập phương ban đầu đựng đầy \(1\) m³ nước, khi ta đặt khối nón vào, phần khối nón chiếm chỗ \(0,2617\) m³ nước sẽ tràn ra ngoài.
   \(V_{\text{tr} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{n}} = V_{\text{l}ậ\text{p}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}} - V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = 1 - 0,2617 \approx 0,7383 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
   Làm tròn đến hàng phần trăm:
   \(V_{\text{tr} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{n}} \approx 0,74 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)

Đáp án (a): \(0,74 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3}\).

---

b) Diện tích xung quanh của hình nón

• Bán kính đáy \(r = \frac{1}{2}\) m, chiều cao \(h = 1\) m.
• Đường sinh (chiều dài sinh)
  \(l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \sqrt{1,25} \approx 1,1180 \&\text{nbsp};\text{m} .\)
• Diện tích xung quanh \(S_{\text{xq}}\) của khối nón:
  \(S_{\text{xq}} = \pi \textrm{ } r \textrm{ } l = \pi \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) \times 1,1180 = 3,14 \times 0,5 \times 1,1180 \approx 3,14 \times 0,559 \approx 1,75526 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2} .\)

Làm tròn đến hàng phần trăm:

\(S_{\text{xq}} \approx 1,76 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2} .\)

Đáp án (b): \(1,76 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2}\).