Question

[Nguyễn Nam Hiển]

Tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. HD vuông góc AC, nối BD, từ M trung điểm HD vẽ đường thẳng song song với BC cắt BD tại E và CD tại F. Chọn khẳng định đúng? 1. M là trực tâm của tam giác AHF 2. M là trực tâm của tam giác AHC 3. AM vuông góc với HF 4. AM song song EH

Answer 1

[VIOEDU]

Dữ kiện bài toán:

• \(\triangle A B C\) cân tại A → \(A B = A C\)
• AH là đường cao → AH vuông góc với BC
• HD ⊥ AC
• Nối BD
• M là trung điểm HD
• Từ M vẽ đường thẳng // BC, cắt BD tại E và cắt CD tại F

Câu hỏi: Chọn khẳng định đúng trong các mệnh đề sau:

1. M là trực tâm của tam giác AHF
2. M là trực tâm của tam giác AHC
3. AM ⊥ HF
4. AM // EH

---

Phân tích hình học:

✅ Gợi ý hình vẽ:

• ABC cân tại A, AH ⊥ BC ⇒ AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến và phân giác (do tam giác cân)
• HD ⊥ AC, D thuộc BC nên HD ⊥ AC
• M là trung điểm của HD
• Từ M kẻ đường thẳng song song BC ⇒ đường này cắt BD tại E, cắt CD tại F → ⇒ ME // BC và MF // BC

Tìm xem khẳng định nào đúng:

---

Kiểm tra từng khẳng định:

1. M là trực tâm tam giác AHF

• Để M là trực tâm của tam giác AHF thì M phải là giao điểm ba đường cao của tam giác đó.
• Nhưng không có đủ dữ kiện về vuông góc tại M trong tam giác AHF ⇒ Chưa chắc chắn

→ Chưa đủ thông tin để khẳng định đúng

---

2. M là trực tâm tam giác AHC

• Tương tự, muốn M là trực tâm tam giác AHC, M phải là giao ba đường cao của tam giác này.
• Ta biết:
• • AH ⊥ BC ⇒ AH ⊥ HC vì C ∈ BC
  • HD ⊥ AC ⇒ điểm D ∈ BC, H ∈ BC
  • M là trung điểm HD ⇒ chưa rõ về vuông góc tại M liên quan AHC

→ Cũng chưa thể khẳng định

---

3. AM ⊥ HF

• Đây là mệnh đề thú vị. Ta biết:
• • M là trung điểm HD
  • MF // BC (vì M vẽ đường song song BC, cắt CD tại F)
  • Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC ⇒ BC là đáy ⇒ HF có khả năng đối xứng với AM nếu xét theo hình học đối xứng

Kẻ thêm hình thì có thể thấy AM ⊥ HF là hoàn toàn hợp lý (do đường nối trung điểm của đoạn vuông góc với đường song song cạnh đáy BC)

→ Mệnh đề có thể đúng

---

4. AM // EH

• AM nối từ A đến M (trung điểm HD)
• EH nối từ E (trên BD) đến H (trên BC), mà ME // BC → Không có lý do nào để AM song song EH cả

→ Sai

---

✅ Kết luận: Đáp án đúng là:

Câu 3. AM ⊥ HF