Question

[Nguyễn Thu Phương]

Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Chứng minh: a) ∆ACD ᔕ ∆BCE và CA.CE = CB.CD. b) ∆ACD ᔕ ∆AHE và AC.AE = AD.AH. c)CH cắt AB tại F. chúng minh EH là tia phân giác của góc FED

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔCAD vuông tại D và ΔCBE vuông tại E có

\(\widehat{ACD}\) chung

Do đó: ΔCAD~ΔCBE

=>\(\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{CD}{CE}\)

=>\(CA\cdot CE=CB\cdot CD\)

b: Xét ΔAEH vuông tại E và ΔADC vuông tại D có

\(\widehat{EAH}\) chung

Do đó: ΔAEH~ΔADC

=>\(\dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\)

=>\(AE\cdot AC=AH\cdot AD\)

c: Xét ΔABC có

BE,AD là các đường cao

BE cắt AD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>CH\(\perp\)AB tại F

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FEH}=\widehat{FAH}\)(AEHF nội tiếp)

\(\widehat{DEH}=\widehat{DCH}\)(CEHD nội tiếp)

mà \(\widehat{FAH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{FEH}=\widehat{DEH}\)

=>EH là phân giác của góc FED

Answer 2

[Lục Hạ Tô]

hướng dẫn cách giải chi tiết:

• MỘTBCMột BC là tam giác nhọn.
• MỘTDMột D.vàBVÀLÀ là hai đường cao của tam giác MỘTBCMột BC, cắt nhau tại điểm HH.
• Cần chứng minh các đẳng thức sau:
• 1. ∠MỘTCD=∠BCVÀ∠ A C D=∠ Trước Công nguyên
  2. ∠CMỘTC=∠CBD∠ C A C=∠ CB D
  3. ∠MỘTHVÀ=∠MỘTCMỘTVÀ∠ A H E=∠ A C A E
  4. ∠MỘTCD=∠MỘTHVÀ∠ A C D=∠ A H E

Hướng giải:

1. Xét tính chất của các đường cao:
2. • Các đường cao trong tam giác vuông tạo ra các góc vuông với các cạnh của tam giác. Ta sẽ sử dụng tính chất này trong khi xét các góc và các tam giác vuông.
3. Dùng tính chất của các góc vuông tại các điểm cao:
4. • Các góc tại các điểm nhưMỘTCDMột C D,BCVÀtrước công nguyên có thể được chứng minh bằng cách sử dụng tính chất của các góc vuông tại các điểm giao nhau của các đường cao. Các góc này có thể liên quan đến các góc vuông trong tam giác con được hình thành bởi các đoạn cao.
5. Sử dụng các tam giác vuông đồng dạng:
6. • Dựa vào tính chất của các tam giác vuông đồng dạng và các góc chung, ta có thể chứng minh được các đẳng thức góc như ∠MỘTCD=∠BCVÀ∠ A C D=∠ Trước Công nguyên hay ∠MỘTHVÀ=∠MỘTCMỘTVÀ∠ A H E=∠ A C A E.
7. Chứng minh các đẳng thức góc:
8. • Dùng các định lý về các tam giác vuông và đồng dạng để chứng minh các góc cần thiết. Một số tính chất có thể được rút ra từ việc đối chiếu các tam giác vuông đồng dạng hay các góc đối xứng qua điểm HH.

Chi tiết chứng minh:

• Chứng minh∠MỘTCD=∠BCVÀ∠ A C D=∠ Trước Công nguyên:
• • Các góc này có thể được chứng minh bằng cách xét các tam giác vuông mà các đoạn cao chia tam giác ban đầu thành các tam giác vuông nhỏ hơn. Các góc này là góc đối đỉnh hoặc đồng dạng.
• Chứng minh∠MỘTHVÀ=∠MỘTCMỘTVÀ∠ A H E=∠ A C A E:
• • Sử dụng định lý góc vuông và tính chất đồng dạng của các tam giác vuông mà các đường cao tạo ra.
• Chứng minh các đẳng thức góc khác:
• • Các đẳng thức như ∠MỘTCD=∠MỘTHVÀ∠ A C D=∠ A H E có thể được chứng minh qua tính chất đối xứng của các đường cao và các góc vuông trong tam giác.