Câu hỏi của Bùi Gia Linh

Question

tìm số nguyên tố p sao cho p^2+23 có đúng 6 ước nguyên dương

Gia Bao · Accepted Answer

Nguyễn Trung Đông thân mến,

Bạn hỏi về bài toán: "Tìm số nguyên tố p sao cho số $p^{2} + 23$ có đúng 6 ước nguyên dương."

Để giải bài này, ta cần hiểu cách tính số ước nguyên dương của một số tự nhiên.

Bước 1: Tính số ước nguyên dương của một số

Nếu một số $n$ được phân tích thành thừa số nguyên tố dưới dạng:
$n = p_{1}^{m_{1}} \times p_{2}^{m_{2}} \times \hdots \times p_{k}^{m_{k}}$
thì số ước nguyên dương của $n$ là:
$\left(\right. m_{1} + 1 \left.\right) \left(\right. m_{2} + 1 \left.\right) \hdots \left(\right. m_{k} + 1 \left.\right)$

Bước 2: Áp dụng cho bài toán

Ta cần tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^{2} + 23$ có đúng 6 ước nguyên dương.
Số 6 có thể phân tích thành tích các số nguyên dương như: $6 = 6 \times 1$ hoặc $6 = 3 \times 2$.
Điều này có nghĩa $p^{2} + 23$ có thể là:
- Lũy thừa bậc 5 của một số nguyên tố (vì số ước là 6 nếu số đó có dạng $q^{5}$).
- Hoặc tích của hai số nguyên tố với số mũ sao cho tích số ước là 6, ví dụ $\left(\right. 2 + 1 \left.\right) \left(\right. 1 + 1 \left.\right) = 3 \times 2 = 6$, tức là $p^{2} + 23 = a^{2} \times b$ với $a , b$ là số nguyên tố khác nhau.

Bước 3: Thử các giá trị nguyên tố $p$ nhỏ

Thử $p = 2$:
$p^{2} + 23 = 4 + 23 = 27 = 3^{3}$
Số ước của 27 là $3 + 1 = 4$, không phải 6.
Thử $p = 3$:
$9 + 23 = 32 = 2^{5}$
Số ước của 32 là $5 + 1 = 6$ — thỏa mãn điều kiện.
Thử $p = 5$:
$25 + 23 = 48 = 2^{4} \times 3$
Số ước của 48 là $\left(\right. 4 + 1 \left.\right) \left(\right. 1 + 1 \left.\right) = 5 \times 2 = 10$, không phải 6.
Thử $p = 7$:
$49 + 23 = 72 = 2^{3} \times 3^{2}$
Số ước là $\left(\right. 3 + 1 \left.\right) \left(\right. 2 + 1 \left.\right) = 4 \times 3 = 12$, không phải 6.
Thử $p = 11$:
$121 + 23 = 144 = 2^{4} \times 3^{2}$
Số ước là $\left(\right. 4 + 1 \left.\right) \left(\right. 2 + 1 \left.\right) = 5 \times 3 = 15$, không phải 6.

Kết luận:

Chỉ có $p = 3$ thỏa mãn điều kiện để $p^{2} + 23$ có đúng 6 ước nguyên dương, vì:

$3^{2} + 23 = 32 = 2^{5}$

và số ước của 32 là 6.

Nếu bạn muốn tôi giải thích thêm về cách tính số ước hoặc các bước thử khác, hãy hỏi nhé!

Câu trả lời: