Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m-1\right)x+m-5=0\)
Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)\(=\left(2x-3\right)^2+15>0\forall m\)
=>Pt luôn có hai nghiệm pb
Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)
Đặt \(A=\left|x_1-x_2\right|\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)
\(=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-5\right)=4m^2-12m+24\)
\(=\left(2m-3\right)^2+15\ge15\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{15}\)
\(A_{min}=\sqrt{15}\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)
\(x^2-2\left(m-1\right)x+m^2-4=0\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m^2-4\right)\)
\(=4\left(m^2-2m+1\right)-4\left(m^2-4\right)\)
\(=4m^2-8m+4-4m^2+16\)
\(=-8m+20\)
Để pt đã cho có 2 nghiệm pb \(x_1,x_2\) thì \(\Delta>0\Leftrightarrow-8m+20>0\Leftrightarrow-8m>-20\Leftrightarrow m< \dfrac{5}{2}\)
Theo Vi-ét, ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-4\end{matrix}\right.\)
Ta có : \(x_1\left(x_1-3\right)+x_2\left(x_2-3\right)=6\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-3x_1+x^2_2-3x_2=6\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1^2+x_2^2\right)-3\left(x_1+x_1\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-4\right)-3\left(2m-2\right)-6=0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m^2+8-6m+6-6=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-14m+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=6\left(ktm\right)\\m=1\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m = 1 thì thỏa mãn đề bài.
a. Thay m=1 vào pt ta được: \(x^2+2x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-2\end{matrix}\right.\)
b, Để pt có hai nghiệm pb \(\Leftrightarrow\Delta>0\)
\(\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)>0\Leftrightarrow m< 2\)
Theo hệ thức viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\)
Có \(x_1^3+x_2^3-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-6x_1x_2=4\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow-8+6\left(m-1\right)-6\left(m-1\right)=4\left(m-m^2\right)\)
\(\Leftrightarrow4m^2-4m-8=0\)
<=>\(\left[{}\begin{matrix}m=2\left(L\right)\\m=-1\left(Tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy m=-1
Để pt có hai nghiệm pb:
\(\Leftrightarrow\)\(\Delta=16-4\left(m-4\right)>0\)\(\Leftrightarrow8>m\)
Có\(\left(x_1-1\right)\left(x_2^2-3x_2+m-3\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x^2_2-4x_2+m-4\right)+\left(x_1-1\right)\left(x_2+1\right)=-2\)
\(\Leftrightarrow x_1x_2+x_1-x_2-1=-2\) (*) (vì x2 là một nghiệm của pt nên \(x_2^2-4x_2+m-4=0\))
TH1: \(x_1>x_2\)
(*)\(\Leftrightarrow x_1x_2+\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow m-4+\sqrt{4^2-4\left(m-4\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{32-4m}=3-m\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}32-4m=9-6m+m^2\\m\le3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1-2\sqrt{6}\)
TH2:\(x_1< x_2\)
(*)\(\Leftrightarrow\)\(x_1x_2-\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}+1=0\)
\(\Leftrightarrow m-4+1=\sqrt{32-4m}\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-3\ge0\\\left(m-3\right)^2=32-4m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=1+2\sqrt{6}\) (tm đk m<8)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m=1-2\sqrt{6}\\m=1+2\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
giải thích cho mình vì sao biến đổi đc từ
m−4+√42−4(m−4)+1 thành √32−4m
\(\Delta'=b'^2-ac=-6m+7=>\)\(m\ge\frac{7}{6}\)
Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}=>\)\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
=> \(x_1.x_2=5\)<=> \(m^2+2m-3=5\)<=> \(m^2+2m-8=0\)
Giải pt trên ta đc : \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-4\end{cases}}\)Mà \(m\ge\frac{7}{6}\)=> \(m=2\)
Cho phương trình \(x^{2} - m x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thỏa mãn điều kiện:
\(3 \mid x_{1} x_{2} \mid + 4 \mid x_{1} \mid = 4 x_{2} .\)Bước 1: Xác định các hệ thức Viète
Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\) vì:
\(\Delta = m^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = m^{2} + 16 > 0 , \forall m .\)Theo Viète:
\(x_{1} + x_{2} = m , x_{1} x_{2} = - 4.\)Bước 2: Thay vào điều kiện đề bài
Điều kiện:
\(3 \mid x_{1} x_{2} \mid + 4 \mid x_{1} \mid = 4 x_{2} .\)Thay \(x_{1} x_{2} = - 4\), ta có:
\(3 \cdot \mid - 4 \mid + 4 \mid x_{1} \mid = 4 x_{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 4 + 4 \mid x_{1} \mid = 4 x_{2} ,\)hay
\(12 + 4 \mid x_{1} \mid = 4 x_{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 + \mid x_{1} \mid = x_{2} .\)Bước 3: Biến đổi và tìm \(x_{1} , x_{2}\)
Từ trên:
\(x_{2} = 3 + \mid x_{1} \mid .\)Ngoài ra, ta có tích:
\(x_{1} x_{2} = - 4.\)Thay \(x_{2}\):
\(x_{1} \left(\right. 3 + \mid x_{1} \mid \left.\right) = - 4.\)Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: \(x_{1} \geq 0\)
\(x_{1} \left(\right. 3 + x_{1} \left.\right) = - 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x_{1}^{2} + 3 x_{1} + 4 = 0.\)Phương trình này vô nghiệm với \(x_{1} \geq 0\) vì:
\(\Delta = 9 - 16 = - 7 < 0.\)Khi đó \(\mid x_{1} \mid = - x_{1}\), nên:
\(x_{1} \left(\right. 3 - x_{1} \left.\right) = - 4 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - x_{1}^{2} + 3 x_{1} + 4 = 0 ,\)hay
\(x_{1}^{2} - 3 x_{1} - 4 = 0.\)Giải phương trình:
\(\Delta = 9 + 16 = 25 ,\) \(x_{1} = \frac{3 \pm 5}{2} .\)Hai nghiệm:
\(x_{1} = \frac{3 + 5}{2} = 4 , x_{1} = \frac{3 - 5}{2} = - 1.\)Chọn \(x_{1} < 0\) nên \(x_{1} = - 1\).
Bước 4: Tính \(x_{2}\)
\(x_{2} = 3 + \mid x_{1} \mid = 3 + 1 = 4.\)Bước 5: Tính \(m\)
\(m = x_{1} + x_{2} = - 1 + 4 = 3.\)Kết luận:
Giá trị tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1} , x_{2}\) thỏa mãn điều kiện đề bài là:
\(\boxed{m = 3} .\)Nếu cần thêm giải thích hoặc các bước chi tiết hơn, bạn cứ hỏi nhé!