Question

[Nguyễn Vũ Bảo Ngọc]

Cho tam giác ABC có AB=8cm. Trên AC lấy điểm D sao cho AD gấp 3 lần DC. Trên BC lấy điểm E sao cho BE=1/3 EC. Kéo dài DE cắt AB tại G. Tính BG?

Answer 1

[Gia Bao]

Bài toán

Cho tam giác ABC có AB = 8 cm.
Trên AC lấy điểm D sao cho AD gấp 3 lần DC.
Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1/3 EC.
Kéo dài DE cắt AB tại G.
Tính độ dài BG.

---

Phân tích và giải

Bước 1: Gán biến và xác định tỉ lệ đoạn thẳng

• Gọi AC = x (cm).
• Vì AD gấp 3 lần DC, tức là AD = 3 * DC.
  Vì D nằm trên AC, ta có:
  AD + DC = AC = x
  AD = 3 * DC
  => 3 * DC + DC = x
  => 4 * DC = x
  => DC = x/4, AD = 3x/4
• Gọi BC = y (cm).
• Vì BE = 1/3 EC, tức là BE = (1/3) * EC.
  BE + EC = BC = y
  BE = (1/3) * EC
  => (1/3) * EC + EC = y
  => (4/3) * EC = y
  => EC = (3/4) y, BE = (1/4) y

---

Bước 2: Sử dụng tọa độ để giải

Để dễ tính, ta đặt hệ tọa độ trên mặt phẳng:

• Đặt điểm A tại gốc tọa độ O(0,0).
• Đặt điểm B trên trục Ox tại (8,0) vì AB = 8 cm.
• Gọi tọa độ điểm C là (x_c, y_c) chưa biết.

---

Bước 3: Tọa độ điểm D trên AC

• AC là đoạn thẳng từ A(0,0) đến C(x_c, y_c).
• D chia AC theo tỉ lệ AD : DC = 3 : 1, tức D chia AC thành 4 phần, D cách A 3 phần.

Vậy tọa độ D là:
\(D = \left(\right. \frac{3}{4} x_{c} , \frac{3}{4} y_{c} \left.\right)\)

---

Bước 4: Tọa độ điểm E trên BC

• BC là đoạn thẳng từ B(8,0) đến C(x_c, y_c).
• E chia BC theo tỉ lệ BE : EC = 1 : 3, tức E cách B 1 phần trong 4 phần.

Vậy tọa độ E là:
\(E = \left(\right. 8 + \frac{1}{4} \left(\right. x_{c} - 8 \left.\right) , 0 + \frac{1}{4} \left(\right. y_{c} - 0 \left.\right) \left.\right) = \left(\right. 8 + \frac{x_{c} - 8}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 \cdot 8 + x_{c}}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 + x_{c}}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right)\)

---

Bước 5: Phương trình đường thẳng DE

• Vector DE = E - D =
  \(\left(\right. \frac{24 + x_{c}}{4} - \frac{3}{4} x_{c} , \frac{y_{c}}{4} - \frac{3}{4} y_{c} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 + x_{c} - 3 x_{c}}{4} , \frac{y_{c} - 3 y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 - 2 x_{c}}{4} , \frac{- 2 y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} , - \frac{y_{c}}{2} \left.\right)\)
• Phương trình tham số của đường thẳng DE:
  \(\overset{⃗}{r} = D + t \cdot \overset{\rightarrow}{D E} = \left(\right. \frac{3}{4} x_{c} , \frac{3}{4} y_{c} \left.\right) + t \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} , - \frac{y_{c}}{2} \left.\right)\)

---

Bước 6: Tìm giao điểm G của DE với AB

• AB nằm trên trục Ox, nên y = 0.
• G có tọa độ (x_G, 0).
• Từ phương trình tham số của DE, tọa độ y của điểm trên DE là:
  \(y = \frac{3}{4} y_{c} + t \cdot \left(\right. - \frac{y_{c}}{2} \left.\right) = \frac{3}{4} y_{c} - \frac{t y_{c}}{2}\)
• Để y = 0:
  \(\frac{3}{4} y_{c} - \frac{t y_{c}}{2} = 0 \Rightarrow y_{c} \left(\right. \frac{3}{4} - \frac{t}{2} \left.\right) = 0\)
• Vì y_c ≠ 0 (C không nằm trên AB), nên:
  \(\frac{3}{4} - \frac{t}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} = 1.5\)
• Tọa độ x của G:
  \(x_{G} = \frac{3}{4} x_{c} + t \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} \left.\right) = \frac{3}{4} x_{c} + 1.5 \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} \left.\right)\)

\(= \frac{3}{4} x_{c} + 1.5 \times 6 - 1.5 \times \frac{x_{c}}{2} = \frac{3}{4} x_{c} + 9 - \frac{3}{4} x_{c} = 9\)

• Vậy:
  \(x_{G} = 9\)

---

Bước 7: Tính BG

• B có tọa độ (8,0), G có tọa độ (9,0).
• Độ dài BG = |9 - 8| = 1 cm.

---

Kết luận

Độ dài BG = 1 cm.

---

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa hoặc giải thích thêm chi tiết!