Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{ba+bc}{3}\)=\(\frac{ca+cb}{4}\)=\(\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{9}\)(áp ụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
*\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{9}\)=> 4,5(ab+ac)=2(ab+ac+bc) =>4,5ab+4,5ac=2ab+2ac+2bc=>2,5ab+2,5ac=2bc(rút gọn)
=>5(ab+ac)=4bc(1)=>1,25 (ab+ac)=bc
*\(\frac{ab+ac}{2}\)=\(\frac{ba+bc}{3}\)=\(\frac{ba+1,25ab+1,25ac}{3}\)=\(\frac{2,25ab+1,25ac}{3}\)
=>3(ab+ac)=2(2,25ba+1,25ac)=>3ab+3ac=4,5ba+2,5bc
=>0,5ac=1,5ba=>ac=3ab(2)
thay (2) vào (1) ta có 5(ab+3ab)=4bc=>5.4ab=4bc=> 5a=c (rút gọn) =>a/1=c/5(3)
Mà ac=3ab=>c=3b=>c/3=b/1 (4)
từ (3) và (4) suy ra: a/1=c/5 ;b/1=c/3=>\(\frac{a}{3}\) =\(\frac{b}{5}\) = \(\frac{c}{15}\) (đpcm)
sau có bài nào tương tự thì cứ hỏi mình nhá
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac+bc+ab-\left(ac+bc\right)}{2+3-4}=\frac{ab+ac+bc+ab-ac-bc}{1}\)
\(=\frac{2ab}{1}\) (1)
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{ab+ac+ca+cb-\left(bc+ba\right)}{2+4-3}=\frac{ab+ac+ca+cb-bc-ab}{3}\)
\(=\frac{2ac}{3}\) (2)
\(\frac{ab+ac}{2}=\frac{bc+ba}{3}=\frac{ca+cb}{4}=\frac{bc+ba+ca+cb-\left(ab+ac\right)}{3+4-2}=\frac{bc+ba+ca+cb-ab-ac}{5}\)
\(=\frac{2bc}{5}\) (3)
Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\frac{2ab}{1}=\frac{2ac}{3}\)\(\Rightarrow\frac{b}{1}=\frac{c}{3}\)\(\Rightarrow\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\)
Từ (2) ; (3) \(\Rightarrow\frac{2ac}{3}=\frac{2bc}{5}\)\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{15}\) (đpcm)
Thanks bn iu
Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{ab+ac}{2}=\dfrac{bc+ba}{3}=\dfrac{ca+cb}{4}\)
\(=\dfrac{ab+ac+bc+ba-ca-cb}{2+3-4}=\dfrac{2ab}{1}\) \(\left(1\right)\)
\(=\dfrac{bc+cb+bc+ba-ab-ac}{3+4-2}=\dfrac{2bc}{5}\left(2\right)\)
\(=\dfrac{ab+ac+ca+cb-bc-ba}{2+4-3}=\dfrac{2ac}{3}\)\(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Leftrightarrow\dfrac{2ab}{1}=\dfrac{2bc}{5}=\dfrac{2ac}{3}\)
\(\dfrac{2ab}{1}=\dfrac{2bc}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{1}=\dfrac{c}{15}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{c}{15}\left(I\right)\)
\(\dfrac{2bc}{5}=\dfrac{2ac}{3}\Leftrightarrow\dfrac{b}{5}=\dfrac{a}{3}\left(II\right)\)
Từ \(\left(I\right)+\left(II\right)\Leftrightarrow\dfrac{a}{3}=\dfrac{b}{5}=\dfrac{c}{15}\left(đpcm\right)\)
Chào bạn! Đây là bài toán đại số khá thú vị. Mình sẽ giúp bạn chứng minh điều kiện đã cho.
Đề bài
Cho \(a , b , c \neq 0\) thỏa mãn:
\(\frac{a b + a c}{2} = \frac{b c + b a}{3} = \frac{c a + c b}{4}\)Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{15}\)Bước 1: Đặt ẩn phụ
Gọi:
\(k = \frac{a b + a c}{2} = \frac{b c + b a}{3} = \frac{c a + c b}{4}\)Từ đó ta có các phương trình:
\(\frac{a b + a c}{2} = k \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a b + a c = 2 k\) \(\frac{b c + b a}{3} = k \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b c + b a = 3 k\) \(\frac{c a + c b}{4} = k \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c a + c b = 4 k\)Bước 2: Viết lại các phương trình
Ta có:
Bước 3: Nhóm các biến
Chú ý rằng:
Vậy ta có hệ:
\(\left{\right. a \left(\right. b + c \left.\right) = 2 k \\ b \left(\right. c + a \left.\right) = 3 k \\ c \left(\right. a + b \left.\right) = 4 k\)Bước 4: Chia từng phương trình cho \(a b c\) (vì \(a , b , c \neq 0\))
Chia cả 3 phương trình cho \(a b c\):
\(\frac{a \left(\right. b + c \left.\right)}{a b c} = \frac{2 k}{a b c} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{b + c}{b c} = \frac{2 k}{a b c}\) \(\frac{b \left(\right. c + a \left.\right)}{a b c} = \frac{3 k}{a b c} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{c + a}{a c} = \frac{3 k}{a b c}\) \(\frac{c \left(\right. a + b \left.\right)}{a b c} = \frac{4 k}{a b c} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \frac{a + b}{a b} = \frac{4 k}{a b c}\)Đặt \(m = \frac{k}{a b c}\), ta có:
\(\frac{b + c}{b c} = 2 m\) \(\frac{c + a}{a c} = 3 m\) \(\frac{a + b}{a b} = 4 m\)Bước 5: Viết lại các biểu thức
\(\frac{b + c}{b c} = \frac{b}{b c} + \frac{c}{b c} = \frac{1}{c} + \frac{1}{b} = 2 m\) \(\frac{c + a}{a c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c} = 3 m\) \(\frac{a + b}{a b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a} = 4 m\)Bước 6: Đặt ẩn mới
Gọi:
\(x = \frac{1}{a} , y = \frac{1}{b} , z = \frac{1}{c}\)Hệ trở thành:
\(\left{\right. y + z = 2 m \\ z + x = 3 m \\ x + y = 4 m\)Bước 7: Giải hệ 3 ẩn
Từ 3 phương trình:
\(y + z = 2 m \left(\right. 1 \left.\right)\) \(z + x = 3 m \left(\right. 2 \left.\right)\) \(x + y = 4 m \left(\right. 3 \left.\right)\)Cộng (1), (2), (3):
\(\left(\right. y + z \left.\right) + \left(\right. z + x \left.\right) + \left(\right. x + y \left.\right) = 2 m + 3 m + 4 m\) \(2 \left(\right. x + y + z \left.\right) = 9 m \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x + y + z = \frac{9 m}{2}\)Bước 8: Tìm từng biến
Từ (1): \(y + z = 2 m\)
Từ tổng: \(x + y + z = \frac{9 m}{2}\)
Suy ra:
\(x = \frac{9 m}{2} - \left(\right. y + z \left.\right) = \frac{9 m}{2} - 2 m = \frac{9 m - 4 m}{2} = \frac{5 m}{2}\)Từ (2): \(z + x = 3 m\)
Thay \(x = \frac{5 m}{2}\):
\(z + \frac{5 m}{2} = 3 m \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z = 3 m - \frac{5 m}{2} = \frac{6 m - 5 m}{2} = \frac{m}{2}\)Từ (1): \(y + z = 2 m\)
Thay \(z = \frac{m}{2}\):
\(y + \frac{m}{2} = 2 m \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 2 m - \frac{m}{2} = \frac{4 m - m}{2} = \frac{3 m}{2}\)Bước 9: Kết luận
Ta có:
\(x = \frac{1}{a} = \frac{5 m}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } a = \frac{2}{5 m}\) \(y = \frac{1}{b} = \frac{3 m}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b = \frac{2}{3 m}\) \(z = \frac{1}{c} = \frac{m}{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = \frac{2}{m}\)Bước 10: Tính tỉ lệ \(\frac{a}{3} , \frac{b}{5} , \frac{c}{15}\)
Tính từng tỉ lệ:
\(\frac{a}{3} = \frac{\frac{2}{5 m}}{3} = \frac{2}{15 m}\) \(\frac{b}{5} = \frac{\frac{2}{3 m}}{5} = \frac{2}{15 m}\) \(\frac{c}{15} = \frac{\frac{2}{m}}{15} = \frac{2}{15 m}\)Vậy:
\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{15} = \frac{2}{15 m}\)Kết luận:
Đã chứng minh được:
\(\boxed{\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{15}}\)Nếu bạn cần mình giải thích thêm hoặc có bài toán khác, cứ hỏi nhé!