Question

[Lê Hiếu Quang]

Mô tả thuật toán tính S=(1+2)+(1+2+3)+⋯+(1+2+⋯+n).

Answer 1

[Gia Bao]

Thuật toán tính tổng \(S = \left(\right. 1 + 2 \left.\right) + \left(\right. 1 + 2 + 3 \left.\right) + \hdots + \left(\right. 1 + 2 + \hdots + n \left.\right)\) có thể mô tả như sau:

Mô tả thuật toán

1. Nhập vào số nguyên dương \(n\) (với \(n > 0\)).
2. Khởi tạo biến tổng \(S\) bằng 0 để lưu kết quả tổng cuối cùng.
3. Dùng vòng lặp từ \(i = 1\) đến \(n\) để tính từng tổng con \(\left(\right. 1 + 2 + \hdots + i \left.\right)\):
4. • Trong mỗi vòng lặp, tính tổng con \(t = 1 + 2 + \hdots + i\). Công thức tính nhanh tổng này là \(t = \frac{i \times \left(\right. i + 1 \left.\right)}{2}\).
   • Cộng giá trị \(t\) vào biến tổng \(S\).
5. Sau khi vòng lặp kết thúc, biến \(S\) sẽ chứa giá trị tổng cần tính.

Công thức rút gọn

Tổng \(S\) có thể được tính nhanh bằng công thức:

\(S = \sum_{i = 1}^{n} \frac{i \left(\right. i + 1 \left.\right)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} \left(\right. i^{2} + i \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. \sum_{i = 1}^{n} i^{2} + \sum_{i = 1}^{n} i \left.\right)\)

Với:

\(\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2}\) \(\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. 2 n + 1 \left.\right)}{6}\)

Thay vào ta có:

\(S = \frac{1}{2} \left(\right. \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. 2 n + 1 \left.\right)}{6} + \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{2} \left.\right) = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right) \left(\right. n + 2 \left.\right)}{6}\)

Tóm tắt thuật toán theo bước

• Nhập \(n\).
• Khởi tạo \(S = 0\).
• Với \(i\) từ 1 đến \(n\):
• • Tính \(t = i \times \left(\right. i + 1 \left.\right) / 2\).
  • Cộng \(t\) vào \(S\).
• In ra \(S\).

Ví dụ

• Với \(n = 3\):
• • \(\left(\right. 1 + 2 \left.\right) = 3\)
  • \(\left(\right. 1 + 2 + 3 \left.\right) = 6\)
  • Tổng \(S = 3 + 6 = 9\)

Nhưng theo biểu thức đề bài (có thể bắt đầu từ \(i = 1\) với \(\left(\right. 1 \left.\right)\) hoặc \(\left(\right. 1 + 2 \left.\right)\) tùy cách hiểu), ví dụ tại nguồn có kết quả \(S = 10\) khi \(n = 3\) (có tính thêm \(1\) ở đầu), nên cần lưu ý cách tính tổng từng phần6.

---

Thuật toán này được mô tả chi tiết và có ví dụ mi