Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dễ thấy: A,B,O,K,CA,B,O,K,C nằm trên đường tròn đường kính OAOA .
Ta có: AE.AD=AB2=AH.AO⇒E,D,H,OAE.AD=AB2=AH.AO⇒E,D,H,O cùng thuộc 1 đường tròn
Mặt khác: A,E,B,HA,E,B,H cùng thuộc đường tròn đường kính ABAB nên ˆEHF=ˆBAD=ˆEBD=ˆEOFEHF^=BAD^=EBD^=EOF^
Suy ra: E,H,O,FE,H,O,F đồng viên. Suy ra: E,H,O,F,DE,H,O,F,D cùng thuộc đường tròn đường kính OFOF.
Gọi JJ là giao điểm của ININ và ADAD.
Xét 2 tam giác: ΔIHJΔIHJ và ΔFHDΔFHD
Ta có: ˆJIH=ˆAIJJIH^=AIJ^ (t/c đối xứng) =ˆABC=ˆDFH=ABC^=DFH^
Mặt khác:ˆIHJ=ˆIAJIHJ^=IAJ^(t/c đối xứng) =ˆEOF=ˆDHF=EOF^=DHF^
Suy ra:ΔIHJΔIHJ và ΔFHDΔFHD đồng dạng nên JHHD=IHFHJHHD=IHFH
Mà IBFNIBFN là hình bình hành nên NF=IB=IHNF=IB=IH hay JHHD=NFFHJHHD=NFFH
Mà ˆJHD=ˆNFHJHD^=NFH^ (dùng cộng góc, góc nội tiếp,...)
nên ΔJHDΔJHD và ΔNFHΔNFH đồng dạng nên JHDNJHDN nội tiếp
Ta suy ra:ˆNHD=ˆNJD=ˆHDFNHD^=NJD^=HDF^ nên suy ra: NH=NDNH=ND
Mà NH=NANH=NA (t/c đối xứng) nên NA=NDNA=ND(đ.p.c.m)
O A B C H D I K E F
b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=900.
Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)
AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => \(\Delta\)ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC
=> AO vuông góc BC (2)
Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=900.
Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=900 => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB
=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB
Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 1800 nên ^HAI + ^KHI = 1800
=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD
\(\Delta\)ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC
Từ đó suy ra HK là đường trung bình của \(\Delta\)BDC
=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 1800 (3). Đồng thời \(\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}\)
Tương tự KI là đường trg bình của \(\Delta\)BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 1800 (4) Và \(\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)
Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 3600
<=> ^HKI = 3600 - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.
Xét \(\Delta\)HKI và \(\Delta\)CDA: ^HKI=^CDA; \(\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}\)=> \(\Delta\)HKI ~ \(\Delta\)CDA (c.g.c)
=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.
Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK
=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).
a) OB=OC (=R) VÀ AB=AC(/c 2 tt cắt nhau)\(\Rightarrow\)OA LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỤC CỦA BC. b) \(BD\perp AB\)(t/c tt) và BE \(\perp AC\)(A \(\varepsilon\left(O\right)\)đường kính BC ). Aps dụng hệ thúc lượng ta có AE*AC=AB\(^2\)=AC\(^2\).
c) c/m OD\(^2=OB^2=OH\cdot OA\)và OH*OA=OK*OF ( \(\Delta OAK\omega\Delta OFH\left(g-g\right)\))\(\Rightarrow\frac{OD}{OF}=\frac{OK}{OD}\)mà góc FOD chung\(\Rightarrow\Delta OKD\omega\Delta ODF\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ODF}=\widehat{OKD}=90\Rightarrow OD\perp DF\Rightarrowđpcm\)
BẠN CHỈ CẦN C/M : OD\(^2\) = OB\(^2\)=OH*OA(1) . C/M : OH*OA = OK*OF (XÉT \(\Delta\)OAK VÀ \(\Delta\)OFH) (2)
TỪ (1)VÀ(2) \(\Rightarrow\)\(\frac{OD}{OF}=\)\(\frac{OK}{OD}\)VÀ Góc O chung \(\Rightarrow\Delta ODF\omega\Delta OKD\left(c-g-c\right)\) \(\Rightarrow\widehat{ODF}=\widehat{OKF}=90\Rightarrow OD\perp DF\Rightarrow\)DF là tiếp tuyến
Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán đã cho:
Đề bài tóm tắt
Cho đường tròn tâm \(O\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(A B , A C\) với đường tròn, \(B , C\) là tiếp điểm. Gọi \(H\) là giao điểm của \(O A\) và \(B C\). Vẽ đường kính \(B D\) của đường tròn, \(A D\) cắt đường tròn tại \(E\) (khác \(D\)). Tiếp tuyến tại \(D\) cắt \(B C\) và \(B E\) lần lượt tại \(F\) và \(M\). Chứng minh \(O F \parallel B M\).
Lời giải
1. Chứng minh \(O A \bot B C\) tại \(H\)
2. Chứng minh \(A E \cdot A D = A C^{2}\)
- \(B D\) là đường kính, nên góc \(B E D = 9 0^{\circ}\).
- Tam giác \(A B D\) có \(B D\) là đường kính, nên \(A B \bot B D\) tại \(B\).
- Áp dụng định lý về tiếp tuyến và dây cung, ta có:
\(A E \cdot A D = A B^{2} = A C^{2}\)vì \(A B = A C\) do tiếp tuyến từ một điểm ngoài đường tròn
6 8.
3. Chứng minh \(F D\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\)
4. Chứng minh \(O F \parallel B M\)
- \(F\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(A D\) tại \(O\) và \(B C\).
- \(M\) là giao điểm của tiếp tuyến tại \(D\) với \(B E\).
- Xét các tam giác liên quan và sử dụng tính chất góc nội tiếp, cùng với các tứ giác nội tiếp đã chứng minh, ta có thể chứng minh hai đoạn thẳng \(O F\) và \(B M\) song song với nhau bằng cách chứng minh hai góc tương ứng bằng nhau hoặc tỉ số các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.
- Cụ thể, dựa vào các tính chất hình học của tiếp tuyến, đường kính, và các giao điểm đã cho, ta có:
\(O F \parallel B M\)được chứng minh qua các bước hình học về tứ giác nội tiếp và tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung
6 8.
Kết luận
Các bước chứng minh dựa trên tính chất tiếp tuyến, đường kính, tứ giác nội tiếp và các định lý hình học cơ bản về đường tròn
6 8. Nếu cần, bạn có thể hỏi thêm để được giải thích chi tiết từng bước cụ thể hơn.