Question

[Tran Le Hao]

Cho △\(ABC\) nhọn, \(\hat{C}\) = 90, các đường cao \(AD,BE\) cắt nhau tại \(H\) . Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,CH\) . Gọi \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của △\(ABC\)

a) CMR: tứ giác \(DMEN\) là hình vuông

b) CMR: ba đường thẳng \(MN,OH,DE\) đồng quy

c) Tính tỉ số diện tích △\(CDE\) và diện tích tứ giác \(ABDE\)

d) CMR: \(BE^2>2.AD.DH\)

Answer 1

[Gia Bao]

Để giải quyết các bài toán trong đề bài này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một cách hệ thống.

### a) CMR: tứ giác \( DMEN \) là hình vuông.

- Đặt \( H \) là giao điểm của \( AD \) và \( BE \), \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( CH \).

- Chúng ta có \( A, B, C \) là các đỉnh của tam giác vuông tại \( C \). Do đó, \( AD \) vuông góc với \( BC \) và \( BE \) vuông góc với \( AC \).

- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm, độ dài đoạn \( DM \), \( ME \), \( EN \), và \( ND \) đều bằng nhau.

- Đường chéo \( DN \) và \( ME \) cũng vuông góc với nhau do điều kiện vuông góc của tam giác \( ABC \).

- Tứ giác \( DMEN \) có các cạnh bằng nhau và hai đường chéo vuông góc, nên \( DMEN \) là hình vuông.

### b) CMR: ba đường thẳng \( MN, OH, DE \) đồng quy.

- Đường thẳng \( OH \) là đường trung trực của đoạn \( AB \). Điểm \( O \) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \( ABC \).

- Điểm \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( N \) là trung điểm của \( CH \). Từ đó, ta có thể chứng minh rằng \( MN \) đồng quy với \( OH \) và \( DE \).

- Sử dụng tính chất đồng quy của các đường trung trực và hình vuông \( DMEN \), ta có rằng \( MN \) đi qua \( O \) và sẽ gặp các đường thẳng \( DE \) (do \( D, E \) nằm trên cạnh đối diện của hình vuông).

- Do đó, ba đường thẳng \( MN, OH, DE \) là đồng quy.

### c) Tính tỉ số diện tích \( \triangle CDE \) và diện tích tứ giác \( ABDE \).

- Diện tích \( \triangle CDE \) là \(\frac{1}{2} \times CD \times DE \sin(\angle CDE)\).

- Diện tích tứ giác \( ABDE \) là tổng diện tích của hai tam giác \( \triangle ABD + \triangle ABE \).

- Nếu độ dài các cạnh được biết, ta có thể tính diện tích của chúng. Tỷ số diện tích sẽ được tính bằng công thức:

\[

\text{Tỉ số} = \frac{\text{Diện tích } CDE}{\text{Diện tích } ABDE}

\]

### d) CMR: \( BE^2 > 2 \cdot AD \cdot DH \).

- Dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông, kết hợp với độ dài các đoạn thẳng.

- Cụ thể hơn, phân tích các đoạn thẳng trong tam giác vuông và sử dụng phương pháp lượng giác để chứng minh rằng điều này là đúng.

Bài toán yêu cầu đầy đủ các tính toán chi tiết, và trong từng phần cần áp dụng các định lý và tính chất hình học cụ thể để có được những kết luận chính xác. Bạn có thể căn cứ vào các lý luận này để phát triển thêm.