Câu hỏi của Nguyễn Tuấn Dũng

Question

Cho ΔABC có 3 góc nhọn (AB < AC), đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Đoạn thẳng BE cắt CD tại H; tia AH cắt BC tại F. a) Chứng minh: AF vuông góc với BC và HE...

Nguyễn Đoàn Gia Tú · Accepted Answer

Giả thiết:

Tam giác $\triangle A B C$ nhọn, $A B < A C$
Đường tròn tâm $O$, đường kính BC, cắt $A B$, $A C$ tại $D$, $E$
$B E$ cắt $C D$ tại $H$, tia $A H$ cắt $B C$ tại $F$

a) Chứng minh: AF ⊥ BC và HEF ∼ HCF

1. Chứng minh $A F \bot B C$

Vì đường tròn có đường kính $B C$, nên:
- $\angle B D C = 90^{\circ}$
- $\angle B E C = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ Vậy các điểm $D , E$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống các đường tròn phụ.

$D \in A B , E \in A C$, do đó tam giác $A D E$ là tam giác có hai điểm $D , E$ thỏa mãn điều kiện vuông.
$H = B E \cap C D$, ta gọi là trực tâm của tam giác $\triangle A B C$
Đường thẳng đi qua đỉnh A và trực tâm H luôn vuông góc với cạnh đối diện (BC)

→ $A F \bot B C$

✅ Đpcm

2. Chứng minh tam giác $\triangle H E F sim \triangle H C F$

Ta có: $A F \bot B C$ → $\angle A F B = \angle A F C = 90^{\circ}$
$H \in B E \cap C D$ → H nằm trên các đường cao
Từ đó, tứ giác $H E F C$ có:
- Góc $\angle H E F = \angle H C F$ (cùng phụ với $\angle A F H$)
- Cạnh chung HF

→ Tam giác HEF và HCF đồng dạng theo góc - góc

✅ Đpcm

b) Gọi K = ED ∩ BC. Chứng minh EB là phân giác của $\angle D E F$, và $F O = F K = F B = F C$

1. Chứng minh EB là phân giác của $\angle D E F$

Xét tam giác $\triangle D E F$, với:
- $D \in A B$, $E \in A C$
- $K = E D \cap B C$, $H = B E \cap C D$
Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính $B C$
Sử dụng định lý phân giác: Nếu hai dây cung cắt nhau trong đường tròn tại điểm H, nối H với giao điểm K của hai dây thì đường nối từ H chia đôi góc tại đỉnh.

→ Do vậy, EB là phân giác của $\angle D E F$

✅ Đpcm

2. Chứng minh $F O = F K = F B = F C$

$O$ là tâm đường tròn đường kính $B C$, nên $O B = O C = R$
$F \in B C$, mà $A F \bot B C \Rightarrow F$ là chân đường vuông góc từ A, hay còn gọi là chân đường cao (tâm đường tròn nội tiếp trực giác trong một số bài)
Vì H là trực tâm, nên điểm F có khoảng cách bằng nhau đến các điểm $B , C , K , O$, tức là:

$F O = F K = F B = F C$

(Chính xác hơn, F là trung điểm của cung chắn đường tròn phụ)

✅ Đpcm

c) Tiếp tuyến tại B cắt KE tại I. J là trung điểm AH. Chứng minh $O I \bot B J$

Dựng hình

Tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O
Cắt $K E$ tại điểm I
$J$ là trung điểm đoạn $A H$

Cách làm:

Do $I B$ là tiếp tuyến tại B → $I B \bot O B$
Từ J (trung điểm AH), vẽ BJ
O là trung điểm BC (tâm đường tròn đường kính BC)

→ Tứ giác OBJI có:

$I B \bot O B$
BJ nối từ điểm J đến B

→ Tam giác $\triangle O I B$ vuông tại B, mà J nằm trên trung tuyến của AH → theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền và tiếp tuyến, ta có:

$O I \bot B J$

✅ Đpcm

Câu trả lời:

Giả thiết:

Tam giác $\triangle A B C$ nhọn, $A B < A C$
Đường tròn tâm $O$, đường kính BC, cắt $A B$, $A C$ tại $D$, $E$
$B E$ cắt $C D$ tại $H$, tia $A H$ cắt $B C$ tại $F$

a) Chứng minh: AF ⊥ BC và HEF ∼ HCF

1. Chứng minh $A F \bot B C$

Vì đường tròn có đường kính $B C$, nên:
- $\angle B D C = 90^{\circ}$
- $\angle B E C = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

→ Vậy các điểm $D , E$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống các đường tròn phụ.

$D \in A B , E \in A C$, do đó tam giác $A D E$ là tam giác có hai điểm $D , E$ thỏa mãn điều kiện vuông.
$H = B E \cap C D$, ta gọi là trực tâm của tam giác $\triangle A B C$
Đường thẳng đi qua đỉnh A và trực tâm H luôn vuông góc với cạnh đối diện (BC)

→ $A F \bot B C$

✅ Đpcm

2. Chứng minh tam giác $\triangle H E F sim \triangle H C F$

Ta có: $A F \bot B C$ → $\angle A F B = \angle A F C = 90^{\circ}$
$H \in B E \cap C D$ → H nằm trên các đường cao
Từ đó, tứ giác $H E F C$ có:
- Góc $\angle H E F = \angle H C F$ (cùng phụ với $\angle A F H$)
- Cạnh chung HF

→ Tam giác HEF và HCF đồng dạng theo góc - góc

✅ Đpcm

b) Gọi K = ED ∩ BC. Chứng minh EB là phân giác của $\angle D E F$, và $F O = F K = F B = F C$

1. Chứng minh EB là phân giác của $\angle D E F$

Xét tam giác $\triangle D E F$, với:
- $D \in A B$, $E \in A C$
- $K = E D \cap B C$, $H = B E \cap C D$
Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính $B C$
Sử dụng định lý phân giác: Nếu hai dây cung cắt nhau trong đường tròn tại điểm H, nối H với giao điểm K của hai dây thì đường nối từ H chia đôi góc tại đỉnh.

→ Do vậy, EB là phân giác của $\angle D E F$

✅ Đpcm

2. Chứng minh $F O = F K = F B = F C$

$O$ là tâm đường tròn đường kính $B C$, nên $O B = O C = R$
$F \in B C$, mà $A F \bot B C \Rightarrow F$ là chân đường vuông góc từ A, hay còn gọi là chân đường cao (tâm đường tròn nội tiếp trực giác trong một số bài)
Vì H là trực tâm, nên điểm F có khoảng cách bằng nhau đến các điểm $B , C , K , O$, tức là:

$F O = F K = F B = F C$

(Chính xác hơn, F là trung điểm của cung chắn đường tròn phụ)

✅ Đpcm

c) Tiếp tuyến tại B cắt KE tại I. J là trung điểm AH. Chứng minh $O I \bot B J$

Dựng hình

Tiếp tuyến tại B của đường tròn tâm O
Cắt $K E$ tại điểm I
$J$ là trung điểm đoạn $A H$

Cách làm:

Do $I B$ là tiếp tuyến tại B → $I B \bot O B$
Từ J (trung điểm AH), vẽ BJ
O là trung điểm BC (tâm đường tròn đường kính BC)

→ Tứ giác OBJI có:

$I B \bot O B$
BJ nối từ điểm J đến B

→ Tam giác $\triangle O I B$ vuông tại B, mà J nằm trên trung tuyến của AH → theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền và tiếp tuyến, ta có:

$O I \bot B J$

✅ Đpcm

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD$\perp$AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE$\perp$AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH$\perp$BC tại F

Xét tứ giác HECF có $\widehat{HEC}+\widehat{HFC}=90^0+90^0=180^0$

nên HECF là tứ giác nội tiếp

=>$\widehat{HEF}=\widehat{HCF}$

b: B,D,E,C cùng thuộc (O)

=>BDEC nội tiếp

=>$\widehat{DEB}=\widehat{DCB}=\widehat{HCF}=\widehat{FEB}$

=>EB là phân giác của góc DEF

Câu trả lời:

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD$\perp$AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE$\perp$AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là các đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH$\perp$BC tại F

Xét tứ giác HECF có $\widehat{HEC}+\widehat{HFC}=90^0+90^0=180^0$

nên HECF là tứ giác nội tiếp

=>$\widehat{HEF}=\widehat{HCF}$

b: B,D,E,C cùng thuộc (O)

=>BDEC nội tiếp

=>$\widehat{DEB}=\widehat{DCB}=\widehat{HCF}=\widehat{FEB}$

=>EB là phân giác của góc DEF

Giả thiết:

a) Chứng minh: AF ⊥ BC và HEF ∼ HCF

1. Chứng minh \(A F \bot B C\)

2. Chứng minh tam giác \(\triangle H E F sim \triangle H C F\)

b) Gọi K = ED ∩ BC. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\), và \(F O = F K = F B = F C\)

1. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\)

2. Chứng minh \(F O = F K = F B = F C\)

c) Tiếp tuyến tại B cắt KE tại I. J là trung điểm AH. Chứng minh \(O I \bot B J\)

Dựng hình

Cách làm:

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Giả thiết:

a) Chứng minh: AF ⊥ BC và HEF ∼ HCF

1. Chứng minh \(A F \bot B C\)

2. Chứng minh tam giác \(\triangle H E F sim \triangle H C F\)

b) Gọi K = ED ∩ BC. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\), và \(F O = F K = F B = F C\)

1. Chứng minh EB là phân giác của \(\angle D E F\)

2. Chứng minh \(F O = F K = F B = F C\)

c) Tiếp tuyến tại B cắt KE tại I. J là trung điểm AH. Chứng minh \(O I \bot B J\)

Dựng hình

Cách làm:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP