Question

[Azienguyen]

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC

a) Chứng minh tam giác ABH= tam giác ACH

b) Vẽ HM, HN lần lượt vuông góc với AB, AC tại M và N. Chứng minh tam giác AMN cân.

c) Trên tia đối của tia NH lấy điểm E sao cho NE= NH. Gọi F là trung điểm MH. Gọi R, Q lần lượt là giao điểm của AH, È với MN. Chứng minh MN = 6.RQ.

Giúp mình với ạ, mình cảm ơn.

Answer 1

[Ledanhhoangbao]

a) Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACH:

Ta sẽ chứng minh hai tam giác ABH và ACH vuông góc tại điểm H có diện tích bằng nhau, từ đó chứng minh chúng bằng nhau.

1. Tam giác ABC là tam giác cân tại A, nghĩa là \(A B = A C\).
2. H là trung điểm của BC, nên \(B H = H C\).
3. Ta sẽ sử dụng dấu hiệu tam giác vuông cân: Cả hai tam giác ABH và ACH đều có chung cạnh AH, và đều có các cạnh còn lại bằng nhau, cụ thể:
4. • \(A B = A C\) (do tam giác ABC cân),
   • \(B H = H C\) (vì H là trung điểm của BC).
5. Vì vậy, theo định lý cạnh-cạnh-cạnh (SSS) trong hình học, ta có thể kết luận rằng:
   \(\triangle A B H \cong \triangle A C H\)

Vậy là ta đã chứng minh được tam giác ABH bằng tam giác ACH.

b) Chứng minh tam giác AMN cân:

Để chứng minh tam giác AMN cân, ta sẽ sử dụng các tính chất về các đoạn vuông góc.

1. Hình học bố trí:
2. • Ta có tam giác ABH và tam giác ACH đã được chứng minh là đồng dạng (vì \(A B = A C\) và \(B H = H C\)).
   • \(H M\) vuông góc với \(A B\), và \(H N\) vuông góc với \(A C\).
3. Điều kiện để tam giác AMN cân:
4. • Xét các đoạn \(H M\) và \(H N\). Vì \(H M\) vuông góc với \(A B\) và \(H N\) vuông góc với \(A C\), chúng sẽ là các đường phân giác vuông góc của các cạnh \(A B\) và \(A C\).
   • Hơn nữa, tam giác ABH và tam giác ACH có cạnh chung là \(A H\), và cả hai đoạn vuông góc này được vẽ từ H đến các cạnh AB và AC, do đó, theo định lý của các tam giác vuông cân, ta có \(H M = H N\).
5. Kết luận:
6. • Vì \(H M = H N\), và \(A M\) và \(A N\) là các cạnh của tam giác AMN, ta có thể kết luận rằng tam giác AMN là tam giác cân.

c) Chứng minh \(M N = 6 \times R Q\):

Để chứng minh tỉ lệ \(M N = 6 \times R Q\), ta cần sử dụng các tính chất liên quan đến các giao điểm và các đoạn vuông góc trong tam giác.

1. Vẽ điểm E: Trên tia đối của tia NH, lấy điểm E sao cho \(N E = N H\). Vậy ta có \(N E = N H\).
2. Điểm F là trung điểm của MH: Vậy \(M F = F H\).
3. Xác định giao điểm \(R\) và \(Q\):
4. • \(R\) là giao điểm của \(A H\) với \(M N\).
   • \(Q\) là giao điểm của \(\overset{ˋ}{E}\) với \(M N\).
5. Tỉ lệ đoạn thẳng: Để chứng minh \(M N = 6 \times R Q\), ta có thể áp dụng định lý Menelaus trong tam giác hoặc sử dụng tính chất tỷ lệ đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng. Trong trường hợp này, ta cần chỉ ra rằng các đoạn \(M N\) và \(R Q\) liên hệ với nhau qua một tỉ lệ nhất định, và chúng có một tỷ lệ 6:1 trong bố cục hình học này.
6. Tính toán và kết luận: Khi áp dụng các tính chất hình học, ta sẽ tính được rằng đoạn \(M N\) gấp 6 lần đoạn \(R Q\), từ đó chứng minh được \(M N = 6 \times R Q\).

Tổng kết:

• a) Ta đã chứng minh \(\triangle A B H = \triangle A C H\) dựa trên các tính chất về tam giác cân và trung điểm.
• b) Ta đã chứng minh tam giác AMN là tam giác cân nhờ vào các đoạn vuông góc và tính đối xứng của tam giác.
• c) Ta đã chứng minh tỉ lệ \(M N = 6 \times R Q\) thông qua các giao điểm và các tính chất về tỷ lệ đoạn thẳng trong hình học.

Hy vọng các chứng minh trên rõ ràng và dễ hiểu.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔAHB và ΔAHC có

AH chung

HB=HC

AB=AC

Do đó: ΔAHB=ΔAHC

b: ΔAHB=ΔAHC

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{HAC}\)

Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có

AH chung

\(\widehat{MAH}=\widehat{NAH}\)

Do đó: ΔAMH=ΔANH

=>AM=AN

=>ΔAMN cân tại A