Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ac=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)(1)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\)xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=ab+bc+ca-\left(a+b+c\right)+1=3a^2-3a+1\)
\(=\left(\sqrt{3}a\right)^2-2.\sqrt{3}a.\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\)
\(=\left(\sqrt{3}a-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
(Dấu "=" \(\Leftrightarrow\sqrt{3}a-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
hay \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
Vậy \(M_{min}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
giả thiết \(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\) (biến đổi tương đương)
Thay xuống: \(M=3a^2-3a+1=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=\frac{1}{2}\)
P/s; hướng làm là đưa về 1 biến như vậy đó, khi tính toán có thể có sai số, bạn tự check lại.
là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức
Áp dụng BĐT Cô si 3 số không âm
Ta có: \(\frac{a^2}{^3}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{b^3}}=\frac{3}{b}\)
Tương tự: \(\frac{b^2}{c^3}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{3}{b}\)
\(\frac{c^2}{a^3}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}+2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^3}+\frac{b^2}{c^3}+\frac{c^2}{a^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=1\)
Ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow3\ge3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow\sqrt[3]{abc}\le1\Leftrightarrow abc\le1\)(bđt AM-GM)
Khi đó \(P=2\left(ab+bc+ca\right)-abc\ge2\left(ab+bc+ca\right)-1\)
\(=2\left(\frac{abc}{c}+\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}\right)-1=2\left[abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]-1\)
\(=2abc\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-1=2.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}-1=\frac{2.9}{3}-1=5\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy GTNN của \(P=5\)đạt được khi \(a=b=c=1\)
p/s : nói chung hướng làm là vậy thôi :v chứ minh làm sai chỗ nào rồi ý
\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow M=3a^2-3a+1=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Theo đề, ta có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+c^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b=c\).Thay vào M đc
\(M=3a^2-3a+1=3\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=3\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Vậy MIN M là 1/4 khi a=b=c=1/2
Sử dụng kết hợp hai bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM - GM, ta được: \(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=\left(a.a.1+1\right)\left(b.b.1+1\right)\)\(\le\left(\frac{a^3+a^3+1}{3}+1\right)\left(\frac{b^3+b^3+1}{3}+1\right)=\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\)(1)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\)(2); \(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:
\(Q=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\)\(\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\)
\(\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{3}{2}\)(Áp dụng BĐT AM - GM)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
4444555555555454
3+2=5. Thế thì 3+2 sao lại bằng 5